有理数的加减法

本节教学的重点是依据有理数的加减法法则熟练进行有理数的加减法运算。难点是有理数的加法法则的理解。

(1)加法法则本身是一种规定，教材通过行程问题让同学们了解法则的合理性。

(2)具体运算时，应先判别题目属于运算法则中的哪个类型，是同号相加、异号相加、还是与0相加。

(3)如果是同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。如果是异号两数相加，应先判别绝对值的大小关系，如果绝对值相等，则和为0；如果绝对值不相等，则和的符号绝对值较大的加数的符号，和的绝对值就是较大的绝对值与较小的绝对值的差。一个数与0相加，仍得这个数。 (4)解有理数减法的计算题需严格掌握两个步骤：首先将减法运算转化为加法运算，然后依据有理数加法法则确定所求结果的符号和绝对值。 有理数的加法

例1如图所示，某人从原点O出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？

为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负，这两数相加有以下三种情况： 1. 同号两数相加

(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？ 这是求两次行走的路程的和。 5+3=8

用数轴表示如图

从数轴上表明，两次行走后在原点O的东边。离开原点的距离是8米。因此两次一共向东走了8米。可见，正数加正数，其和仍是正数，和的绝对值等于这两个数的绝对值的和。 (2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？ 显然，两次一共向西走了8米 (-5)+(-3)= -8 用数轴表示如图

从数轴上表明，两次行走后在原点O的西边，离开原点的距离是8米。因此两次一共向东走了-8米。

可见，负数加负数，其和仍是负数，和的绝对值也是等于两个加数的绝对值的和。 总之，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 例如，(-4)+(-5)，……同号两数相加 (-4)+(-5)=-( )，……取相同的符号 4+5=9……把绝对值相加 ∴(-4)+(-5)= -9 2. 异号两数相加

(1)某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？

由数轴上表明，两次行走后，又回到了原点，两次一共向东走了0米。 5+(-5)=0

可知，互为相反数的两个数相加，和为零。

(2)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？

由数轴上表明，两次行走后在原点O的东边，离开原点的距离是2米，两次一共向东走了2米。就是5+(-3)=2

(3)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？

由数轴上表明，两次行走后在原点O的西边，离开原点的距离是2米，因此，两次一共向东走了-2米。 就是3+(-5)=-2

总之，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0 例如(-8)＋5……绝对值不相等的异号两数相加 8>5

(-8)+5= -( )……取绝对值较大的加数符号 8-5=3……用较大的绝对值减去较小的绝对值 ∴(-8)+5= -3 3. 一个数和零相加

(1)某人向东走5米，再向东走0米，两次一共向东走了多少米？ 显然，5+0=5，结果向东走了5米。

(2)某人向西走5米，再向东走0米，两次一共向东走了多少米？ 容易得出：(-5)+0=-5。结果向东走了-5米，即向西走了5米。 请同学们把(1)、(2)画出图来。

由(1)，(2)得出：

一个数同0相加，仍得这个数。 有理数加法运算的三种情况。

(1)

(2)

特例：两个互为相反数相加： (3)一个数和零相加

运算法则强调：(1)确定和的符号；(2)确定和的绝对值的方法。 (四)例题分析 例1 计算(-3)+(-9)

分析：这是两个负数相加，属于同号两数相加，和的符号与加数相同(应为负)，和的绝对值就是把绝对值相加(应为3+9=12)(强调相同、相加的特征) 解：(-3)+(-9)=-12

例2 计算

分析：这是异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同(应为负)，和的绝对值

等于较大绝对值减去较小绝对值。。(强调“两个较大”“一个较小”)

解：

解题时，先确定和的符号，后计算和绝对值。 (五)巩固练习 1. 计算(口答)

(1)4+9； (2)4+(-9)； (3)-4+9； (4)(-4)+(-9) (5)4+(-4)； (6)9+(-2)； (7)(-9)+2； (8)-9+0 2. 计算

(1)5+(-22)； (2)(-1.3)+(-8)

(3)(-0.9)+1.5； (4)2.7+(-3.5)

(5)； (6)

随堂练习答案。

1. (1)13 (2)-5 (3)5 (4)-13 (5)0 (6)7 (7)-7 (8)-9

2. (1)-17 (2)-9.3 (3)0.6 (4)-0.8 (5) (6)

有理数的减法

前面我们已经学习了有理数的加法，从引入加法运算所举的实例中我们看到加法的结果是两次运动的累积。但有时生活中不但要考虑积累的效果，也需要两种状态的差距。如：已知昨天的气温是零下5℃，今天的气温是零上5℃，那么今天的气温比昨天高多少度？

由此我们看到引入减法的必要性，同学们在此重点理解：①在有理数范围内,减法总是可以实施的；②减法是转化成加法来解决，加法是基础，转化是关键；③能否类比加法的运算律研究减法是否也具有运算律，可以以此总结解题的经验。 例题分析 例1. 填空：

(1)若x+m=n，则x=_____，若x-m=n，则x=____ (2)0-(+3.15)=____；-9-____=0 (3)一个正数与它的绝对值的差是_____

分析与解答：(1)考查了同学对加减法关系的认识。减法是加法的逆运算。因此答案分别为n-m和m+n

(2)熟练掌握减法的运算规律的同时，了解一些常见的数值运算关系，如 -a=-a，a-a=0等。因此答案分别为-3.75和-9。

(3)要加强对带字母运算的认识。已知a为一个正数，则a-|a|=a-a=0。因此答案是0。 例2. 判断正误

(1)两数之差一定小于被减数( )

(2)若两数差为正数，则两数都为正数( ) (3)零减去一个数仍得这个数( )

(4)减去一个负数，差一定大于被减数( )

分析与解答：(1)在有理数范围内减法都可以施行。因此这句话不正确。 (2)大数减小数即为正数，但这两个数可以不都为正数，这句话不正确。 (3)由例1可知，零减去一个数应得这个数的相反数，这句话不正确。 (4)这句话是正确的。 例3. 计算

(1)(+12)-(+18)-(+23)+(+51)

(2)

(3)

(4)

分析与解答：(1)原式=(+12)+(-18)+(-23)+(+51) =(-6)+(-23)+(+51) =(-29)+(+51) =+22

注：熟练正确掌握减法的运算法则是进一步学习的基础。

(2)原式

=9+(-3) =6

注：当减法转化为加法后，适当地利用加法的运算律能简化运算。

(3)原式

注：同学们可以研究一下，一个数减去多个数的和如何化简并计算。实际上可以在有理数范围内看看“去括号法则”是不是还成立。

(4)原式

注：注意加法混合运算中的运算顺序，有括号(绝对值)的先计算括号(或绝对值)内的式子，再从左到右计算。 例4. 计算 (1)-6-6-9

(2)

(3)

(4)

(5)

分析与解答： (1)原式=(-6)+(-6)+(-9) =-(6+6+9) =-21

(2)原式

注：连续减去若干个正数相当减去这些正数的和。

(3)原式

注：通过前几个例子可以发现，小学学习的去括号法则在有理数范围内也是成立，应用它求解有时很方便。

(4)原式

例5. 用简便方法计算下列各题

(1)

(2)

(3)

分解与解答：

(1)原式

＝

注：一般地，有，其中n为正整数。

(2)原式

注：对于一般地d>0，有，n为正整数。

(3)原式

注：首先要进行形成的转化，化归为(1)(2)的类型就好解决了。