(最新整理)二次函数公式(精华)

(完整)二次函数公式(精华)

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(完整)二次函数公式(精华)

★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数。 2。二次函数yax2的性质 （1）抛物线yax2（a0）的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.（2)函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点

3。二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合)y轴的抛物线.

224.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

b4acb。 h，k22a4a5。二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①yax2；②yax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc. 6。抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点。 ①a决定抛物线的开口方向:

当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴(或重合）的直线记作xh。特别地,y轴记作直线x0。

7。顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb22（，）,对称轴是直线(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是2a4a2a4abx。

2a(2）配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为(h,k），

2对称轴是xh. (3）运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★ 9。抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

(2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb，

2a故：

①b0时,对称轴为y轴；②b0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；

a③b0（即a、b异号）时,对称轴在y轴右侧.

a（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0,c）：

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①c0，抛物线经过原点； ②c0，与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中,当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b0。

a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 yax2 x0(y轴) yax2k 当a0时 x0(y轴） 2开口向上 yaxh xh 2yaxhk 当a0时 xh 开口向下 b2yaxbxc 顶点坐标 （0,0) (0, k） （h,0） （h,k) b4acb2(，) 2a4ax2a 11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yax2bxc。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。 (2）顶点式：yaxh2k。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2。 12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为（0,c）

(2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc）。

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程

抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根ax2bxc0的两个实数根。

的判别式判定:

①有两个交点0抛物线与x轴相交;

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切; ③没有交点0抛物线与x轴相离。 (4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

ykxn的解的数目来确定: 2yaxbxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G没有交

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点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

bc2xx,xxAx1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程axbxc0的两个根，故 12 12aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c 4x1x2aaaa213．二次函数与一元二次方程的关系:

（1）一元二次方程yax2bxc就是二次函数yax2bxc当函数y的值为0时的情况．

（2）二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个

交点、没有交点;当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0的根．

（3)当二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程

yax2bxc有两个不相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2bxc0没有实数根 14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大（小)值； (2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小）值．

15.解决实际问题时的基本思路:（1）理解问题;（2）分析问题中的变量和常量；（3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

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