一.选择题(共2小题)
1.(2020•南通)如图①,E为矩形ABCD的边AD上一点,点P从点B出发沿折线BED运动到点D停止,点Q从点B出发沿BC运动到点C停止,它们的运动速度都是1cm/s.现
P,Q两点同时出发,设运动时间为x(s),BPQ的面积为y(cm2),若y与x的对应关系
如图②所示,则矩形ABCD的面积是( )
A.96cm2
B.84cm2
C.72cm2
D.56cm2
【解答】从函数的图象和运动的过程可以得出:当点P运动到点E时,x10,y30, 过点E作EHBC,由三角形面积公式得:y11BQEH10EH30, 22解得EHAB6,
AEBE2AE2102628, 由图2可知当x14时,点P与点D重合, ADAEDE8412,
矩形的面积为12672.
故选:C.
2.(2020•镇江)点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数yx2ax4的图象上.则mn的最大值等于( ) A.
15 4B.4 C.15 4D.17 4【解答】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数yx2ax4的图象上, a0,
nm24,
115mnm(m24)m2m4(m)2,
24当m115时,mn取得最大值,此时mn, 24故选:C.
二.填空题(共4小题)
3.(2020•无锡)二次函数yax23ax3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在3该抛物线的对称轴上,若ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为 (,
239)或(,6) .
2【解答】把点A(6,0)代入yax23ax3得,036a18a3, 1解得:a,
611yx2x3,
62B(0,3),抛物线的对称轴为x12()6123, 23设点M的坐标为:(,m),
2当ABM90,
过B作BD对称轴于D, 则123, tan2tan1
62, 3DM2, BDDM3, 3M(,6),
2当MAB90, tan3MN6tan12, AN3MN9, 3M(,9),
233综上所述,点M的坐标为(,9)或(,6).
224.(2020•南京)下列关于二次函数y(xm)2m21(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数yx2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数yx21的图象上.其中所有正确结论的序号是 ①②④ .
【解答】①二次函数y(xm)2m1(m为常数)与函数yx2的二次项系数相同,
该函数的图象与函数yx2的图象形状相同,故结论①正确;
②在函数y(xm)2m21中,令x0,则ym2m211,
该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确;
③
y(xm)2m21,
抛物线开口向下,对称轴为直线xm,当xm时,y随x的增大而减小,故结论③错误;
④抛物线开口向下,当xm时,函数y有最大值m21,
该函数的图象的顶点在函数yx21的图象上.故结论④正确,
故答案为①②④.
5.(2020•连云港)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y0.2x21.5x2,则最佳加工时间为 3.75 min.
【解答】根据题意:y0.2x21.5x2, 当x1.53.75时,y取得最大值,
2(0.2)则最佳加工时间为3.75min. 故答案为:3.75.
6.(2020•淮安)二次函数yx22x3的图象的顶点坐标为 (1,4) . 【解答】
yx22x3
(x22x11)3 (x1)24,
顶点坐标为(1,4).
故答案为:(1,4). 三.解答题(共13小题)
7.(2020•无锡)有一块矩形地块ABCD,AB20米,BC30米.为美观,拟种植不同的花卉,如图所示,将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形,其中梯形的高相等,均为x米.现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉;在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉;在矩形EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2,设三种花卉的种植总成本为y元. (1)当x5时,求种植总成本y;
(2)求种植总成本y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米,求三种花卉的最低种植总成本.
【解答】(1)当x5时,EF202x10,EH302x20,
11y2(EHAD)20x2(GHCD)x60EFEH40(2030)520(1020)5602010402200022
(2)EF(202x)米,EH(302x)米, 参考(1),由题意得:
y(30302x)x20(20202x)x60(302x)(202x)40400x24000(0x10);(3)S甲21EHAD2x302x30x2x260x, 2同理S乙2x240x,
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2,
2x260x(2x240x)120, 解得:x6, 故0x6,
而y400x24000随x的增大而减小,故当x6时,y的最小值为21600, 即三种花卉的最低种植总成本为21600元.
8.(2020•无锡)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线OA交二次函数y12x的图象4于点A,AOB90,点B在该二次函数的图象上,设过点(0,m)(其中m0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M,交直线OB于点N,以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN. (1)若点A的横坐标为8. ①用含m的代数式表示M的坐标;
②点P能否落在该二次函数的图象上?若能,求出m的值;若不能,请说明理由. (2)当m2时,若点P恰好落在该二次函数的图象上,请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式. 【解答】(1)①点A在yA(8,16),
直线OA的解析式为y2x,
12x的图象上,横坐标为8, 4点M的纵坐标为m, 1M(m,m).
2②假设能在抛物线上, AOB90,
直线OB的解析式为yx,
12点N在直线OB上,纵坐标为m, N(2m,m),
3MN的中点的坐标为(m,m),
4332. P(m,2m),把点P坐标代入抛物线的解析式得到m291(2)①当点A在y轴的右侧时,设A(a,a2),
4直线OA的解析式为y1ax, 48M(,2),
aOBOA,
直线OB的解析式为ya4x,可得N(,2),
2a8a8aP(,4),代入抛物线的解析式得到,4,
a2a2解得a424,
直线OA的解析式为y(21)x.
②当点A在y轴的左侧时,即为①中点B的位置,
直线OA 的解析式为yx(21)x,
4a综上所述,满足条件的直线OA的解析式为y(21)x或y(21)x.
9.(2020•苏州)如图,二次函数yx2bx的图象与x轴正半轴交于点A,平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点(点B位于点C左侧),与抛物线对称轴交于点D(2,3). (1)求b的值;
(2)设P、Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧),四边形PBCQ为平行四边形.过点P、Q分别作x轴的垂线,与抛物线交于点P(x1,y1)、Q(x2,y2).若|y1y2|2,求x1、x2的值.
【解答】(1)直线与抛物线的对称轴交于点D(2,3), 1故抛物线的对称轴为x2,即b2,解得:b4,
2故抛物线的表达式为:yx24x;
(2)把y3代入yx24x并解得x1或3, 故点B、C的坐标分别为(1,3)、(3,3),则BC2, 四边形PBCQ为平行四边形, PQBC2,故x2x12,
又
2y1x124x1,y2x24x2,|y1y2|2,
24x2)|2,|x1x24|1. 故|(x124x1)(x2x1x25或x1x23,
3xx2x1212由,解得;
xx5712x221x1xx22由21,解得.
xx3512x2210.(2020•苏州)如图,已知MON90,OT是MON的平分线,A是射线OM上一点,OA8cm.动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连接PQ,交OT于点B.经过O、P、Q三点作圆,交OT于点C,连接PC、QC.设运动时间为t(s),其中0t8.
(1)求OPOQ的值;
(2)是否存在实数t,使得线段OB的长度最大?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)求四边形OPCQ的面积.
【解答】(1)由题意可得,OP8t,OQt, OPOQ8tt8(cm).
(2)当t4时,线段OB的长度最大.
如图,过点B作BDOP,垂足为D,则BD//OQ. OT平分MON, BODOBD45, BDOD,OB2BD.
设线段BD的长为x,则BDODx,OB2BD2x,PD8tx, BD//OQ,
PDBD, OPOQ8txx, 8tt8tt2. x88tt22OB2(t4)222.
88当t4时,线段OB的长度最大,最大为22cm. (3)POQ90, PQ是圆的直径. PCQ90. PQCPOC45, PCQ是等腰直角三角形. SPCQ11221PCQCPQPQPQ2. 22224在RtPOQ中,PQ2OP2OQ2(8t)2t2.
四边形OPCQ的面积SSPOQSPCQ11OPOQPQ2, 2411t(8t)[(8t)2t2], 24114tt2t2164t16.
22四边形OPCQ的面积为16cm2.
11.(2020•南京)小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第xmin时,小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m.y1与x之间的函数表达式是y1180x2250,y2与x之间的函数表达式是y210x2100x2000.
(1)小丽出发时,小明离A地的距离为 250 m.
(2)小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多少? 【解答】(1)
y1180x2250,y210x2100x2000,
当x0时,y12250,y22000,
小丽出发时,小明离A地的距离为22502000250(m),
故答案为:250;
(2)设小丽出发第xmin时,两人相距sm,则
s(180x2250)(10x2100x2000)10x280x25010(x4)290,
当x4时,s取得最小值,此时s90,
答:小丽出发第4min时,两人相距最近,最近距离是90m.
12.(2020•泰州)如图,二次函数y1a(xm)2n,y26ax2n(a0,m0,n0)的图象分别为C1、C2,C1交y轴于点P,点A在C1上,且位于y轴右侧,直线PA与C2在y轴左侧的交点为B.
(1)若P点的坐标为(0,2),C1的顶点坐标为(2,4),求a的值; (2)设直线PA与y轴所夹的角为.
①当45,且A为C1的顶点时,求am的值; ②若90,试说明:当a、m、n各自取不同的值时,
PA的值不变; PB(3)若PA2PB,试判断点A是否为C1的顶点?请说明理由.
【解答】(1)由题意m2,n4,
y1a(x2)24, 1把(0,2)代入得到a.
2(2)①如图1中,过点A作ANx轴于N,过点P作PMAN于M.
y1a(xm)2nax22amxam2n, P(0,am2n), A(m,n),
PMm,ANn, APM45, AMPMm,
mam2nn, m0, am1.
②如图2中,由题意ABy轴,
P(0,am2n),
当yam2n时,am2n6ax2n, 解得xB(PB6m, 66m,am2n), 66m, 6AP2m,
PA2m26. PB6m6(3)如图3中,过点A作AHx轴于H,过点P作PKAH于K,过点B作BEKP交
KP的延长线于E.
设B(b,6ab2n),
PA2PB,
A(2b,a(2bm)2n), BE//AK,
BEPB1, AKPA2AK2BE,
a(2bm)2nam2n2(am2n6ab2n), 整理得:m22bm8b20, (m4b)(m2b)0, m4b0, m2b0, m2b,
A(m,n),
点A是抛物线C1的顶点.
13.(2020•连云港)在平面直角坐标系xOy中,把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图,抛物线L1:y123交x轴于点A、B(点A在点Bxx2的顶点为D,
22左侧),交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”,其顶点为P. (1)若抛物线L2经过点(2,12),求L2对应的函数表达式; (2)当BPCP的值最大时,求点P的坐标;
(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若DPQ与ABC相似,求其“共根抛物线” L2的顶点P的坐标.
13【解答】(1)当y0时,x2x20,解得x1或4,
22A(1,0),B(4,0),C(0,2),
由题意设抛物线L2的解析式为ya(x1)(x4), 把(2,12)代入ya(x1)(x4), 126a,
解得a2,
抛物线的解析式为y2(x1)(x4)2x26x8.
(2)抛物线L2与L1是“共根抛物线”, A(1,0),B(4,0),
抛物线L1,L2的对称轴是直线x点P在直线x3, 23上, 2BPAP,如图1中,当A,C,P共线时,BPPC的值最大,
此时点P为直线AC与直线x3的交点, 2直线AC的解析式为y2x2, 3P(,5)
2(3)由题意,AB5,CB25,CA5, AB2BC2AC2, ACB90,CB2CA, y1231325, xx2(x)2222283225), 8顶点D(,由题意,PDQ不可能是直角, 第一种情形:当DPQ90时, ①如图31中,当QDP∽ABC时,
QPAC1, DPBC231133设Q(x,x2x2),则P(,x2x2),
22222DP123251393 xx2()x2x,QPx,
2282282PD2QP, 2x31239113, xx,解得x或(舍弃)
22822339P(,).
28
②如图32中,当DQP∽ABC时,同法可得PQ2PD, x39x23x, 2453或(舍弃), 22解得x321P(,).
28第二种情形:当DQP90. ①如图33中,当PDQ∽ABC时,
PQAC1, DQBC2过点Q作QMPD于M.则QDM∽PDQ,
QMPQ13391139,由图33可知,M(,),Q(,), MDDQ28822MD8,MQ4, DQ45,
由
DQPD,可得PD10, DMDQ325D(,) 28355P(,).
28②当DPQ∽ABC时,过点Q作QMPD于M. 321521同法可得M(,),Q(,),
828251,QM1,QD,
22QDPD5由,可得PD, DMDQ2DM53P(,).
8214.(2020•徐州)如图,在平面直角坐标系中,函数
yax22ax3a(a0)的图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点
E.过点C作CD//x轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,交抛物线于点
G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.
(1)点E的坐标为: (1,0) ;
(2)当HEF是直角三角形时,求a的值; (3)HE与GK有怎样的位置关系?请说明理由.
【解答】(1)对于抛物线yax22ax3a,对称轴xE(1,0),
2a1, 2a故答案为(1,0). (2)如图,连接EC.
对于抛物线yax22ax3a,令x0,得到y3a, 令y0,ax22ax3a0,解得x1或3, A(1,0),B(3,0),C(0,3a), C,D关于对称轴对称,
D(2,3a),CD2,ECDE,
当HEF90时, EDEC, ECDEDC, DCF90,
CFDEDC90,ECFECD90, ECFEFC, ECEFDE, EA//DH,
FAAH,
AE1DH, 2AE2, DH4,
HEDFEFED, FHDH4,
在RtCFH中,则有4222(6a)2, 解得aa33或(不符合题意舍弃), 333. 3当HFE90时,OAOE,FOAE,
FAFE,
OFOAOE1, 3a1, a1, 3综上所述,满足条件的a的值为
(3)结论:EH//GK.
31或. 33理由:由题意A(1,0),F(0,3a),D(2,3a),H(2,3a),E(1,0),
直线AF的解析式y3ax3a,直线DF的解析式为y3ax3a,
y3ax3ax1x6由,解得或, 2yax2ax3ay0y21aK(6,21a),
y3ax3ax2x3由,解得或, 2yax2ax3ay3ay12aG(3,12a),
直线HE的解析式为yaxa,
直线GK的解析式为yax15a, k相同,
HE//GK.
15.(2020•常州)如图,二次函数yx2bx3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,抛物线过点C(1,0),且顶点为D,连接AC、BC、BD、CD. (1)填空:b 4 ;
(2)点P是抛物线上一点,点P的横坐标大于1,直线PC交直线BD于点Q.若CQDACB,求点P的坐标;
(3)点E在直线AC上,点E关于直线BD对称的点为F,点F关于直线BC对称的点为G,连接AG.当点F在x轴上时,直接写出AG的长.
【解答】(1)抛物线yx2bx3的图象过点C(1,0), 01b3, b4,
故答案为:4; (2)b4,
抛物线解析式为yx24x3
抛物线yx24x3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点
B,
点A(0,3),3x24x3,
,x24, x10(舍去)
点B(4,3),
yx24x3(x2)21,
顶点D坐标(2,1),
如图1,当点Q在点D上方时,过点C作CEAB于E,设BD与x轴交于点F, 点A(0,3),点B(4,3),点C(1,0),CEAB,
点E(1,3),CEBE3,AE1,
EBCECB45,tanACEBCF45,
AE1, EC3点B(4,3),点C(1,0),点D(2,1), BC9932,CD112,
BD(42)2(31)225,
BC2CD220BD2, BCD90, tanDBCCD21tanACE, BC323ACEDBC,
ACEECBDBCBCF, ACBCFD,
又CQDACB,
点F与点Q重合,
点P是直线CF与抛物线的交点,
0x24x3, x11,x23,
点P(3,0);
当点Q在点D下方上,过点C作CHDB于H,在线段BH的延长线上截取HFQH,连接CQ交抛物线于点P, CHDB,HFQH,
CFCQ,
CFDCQD, CQDACB, CHBD,
点B(4,3),点D(2,1),
直线BD解析式为:y2x5, 点F(,0),
直线CH解析式为:yx52121, 211yx22, y2x511x5解得,
3y5点H坐标为(311,),
55FHQH,
点Q(619,),
510434, 3直线CQ解析式为:yx44yx联立方程组33,
2yx4x35xx1123解得:或,
y081y29点P(,);
5385综上所述:点P的坐标为(3,0)或(,);
93(3)如图,设直线AC与BD的交点为N,作CHBD于H,过点N作MNx轴,过点E作EMMN,连接CG,GF,
点A(0,3),点C(1,0),
直线AC解析式为:y3x3,
y3x3,
y2x58x5,
9y5点N坐标为(,),
8595311点H坐标为(,),
551139118399CH2(1)2()2,HN2()2()2,
55555555CHHN, CNH45,
点E关于直线BD对称的点为F, ENNF,ENBFNB45, ENF90,
ENMFNM90,
又ENMMEN90, MENFNM,
EMNNKF(AAS) EMNK9,MNKF, 515点E的横坐标为, 点E(,
1518), 5MNCF27KF, 582716, 55点F关于直线BC对称的点为G, FCCG6,BCFGCB45, GCF90,
点G(1,6),
AG12(63)210.
16.(2020•盐城)若二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0x1x2),且经过点A(0,2).过点A的直线l与x轴交于点C,与该函数的图象交于点
满足ACN是等腰直角三角形,记AMN的B(异于点A).
5积为S1,BMN的面积为S2,且S2S1.
2面
(1)抛物线的开口方向 上 (填“上”或“下” ); (2)求直线l相应的函数表达式; (3)求该二次函数的表达式.
【解答】(1)如图,如二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0x1x2),且经过点A(0,2).
抛物线开口向上,
故答案为:上;
(2)①若ACN90,则C与O重合,直线l与抛物线交于A点, 因为直线l与该函数的图象交于点B(异于点A),所以不合题意,舍去; ②若ANC90,则C在x轴的下方,与题意不符,舍去; ③若CAN90,则ACNANC45,AOCONO2, C(2,0),N(2,0),
b2设直线l为ykxb,将A(0,2)C(2,0)代入得,
2kb0k1解得,
b2直线l相应的函数表达式为yx2;
(3)过B点作BHx轴于H, 11S1MNOA,S2MNBH,
225S2S1,
2OA5BH, 2OA2, BH5,
即B点的纵坐标为5,代入yx2中,得x3, B(3,5),
c2将A、B、N三点的坐标代入yax2bxc得4a2bc0,
9a3bc5a2解得b5,
c2抛物线的解析式为y2x25x2.
17.(2020•淮安)如图①,二次函数yx2bx4的图象与直线l交于A(1,2)、B(3,n)两点.点P是x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线交直线1于点M,交该二次函数的图象于点N,设点P的横坐标为m. (1)b 1 ,n ;
(2)若点N在点M的上方,且MN3,求m的值;
(3)将直线AB向上平移4个单位长度,分别与x轴、y轴交于点C、D(如图②). ①记NBC的面积为S1,NAC的面积为S2,是否存在m,使得点N在直线AC的上方,且满足S1S26?若存在,求出m及相应的S1,S2的值;若不存在,请说明理由. ②当m1时,将线段MA绕点M顺时针旋转90得到线段MF,连接FB、FC、OA.若FBAAODBFC45,直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标.
【解答】(1)将点A(1,2)代入二次函数yx2bx4中,得1b42, b1,
二次函数的解析式为yx2x4,
将点B(3,n)代入二次函数yx2x4中,得n9342, 故答案为:1,2;
(2)设直线AB的解析式为ykxa,由(1)知,点B(3,2), A(1,2), ka2,
3ka2k1,
a1直线AB的解析式为yx1,
由(1)知,二次函数的解析式为yx2x4, 点P(m,0),
M(m,m1),N(m,m2m4),
点N在点M的上方,且MN3,
m2m4(m1)3, m0或m2;
(3)①如图1,由(2)知,直线AB的解析式为yx1,
直线CD的解析式为yx14x5,
令y0,则x50, x5,
C(5,0),
A(1,2),B(3,2),
直线AC的解析式为yx135,直线BC的解析式为yx5, 3过点N作y轴的平行线交AC于K,交BC于H,点P(m,0), 15N(m,m2m4),K(m,m),H(m,m5),
3317NKm2m4mm2m,NHm29,
3333S2SNACS1SNBC1147NK(xCxA)(m2m)63m24m7, 22331NH(xCxB)m29, 2S1S26,
m29(3m24m7)6,
m13(由于点N在直线AC上方,所以,舍去)或m13;
S23m24m73(13)24(13)7231,
S1m29(13)29235;
②如图2,
记直线AB与x轴,y轴的交点为I,L, 由(2)知,直线AB的解析式为yx1, I(1,0),L(0,1), OLOI,
ALDOLI45, AODOAB45,
过点B作BG//OA, ABGOAB, AODABG45,
FBAABGFBG,FBAAODBFC45, ABGFBGAODBFC45, FBGBFC, BG//CF, OA//CF,
A(1,2),
直线OA的解析式为y2x,
C(5,0),
直线CF的解析式为y2x10,
过点A,F分别作过点M平行于x轴的直线的垂线,交于点Q,S, AQMMSF90,
点M在直线AB上,m1, M(m,m1), A(1,2), MQm1,
设点F(n,2n10),
FS2n10m12nm9,
由旋转知,AMMF,AMF90, MAQAMQ90AMQFMS, MAQFMS, AQMMSF(AAS), FSMQ, 2nm9m1, n4,
F(4,2),
直线OF的解析式为y1x①, 2二次函数的解析式为yx2x4②, 165165xx44联立①②解得,或,
y165y16588直线OF与该二次函数图象交点的横坐标为165165或. 44
18.(2020•南通)已知抛物线yax2bxc经过A(2,0),B(3n4,y1),C(5n6,y2)三点,对称轴是直线x1.关于x的方程ax2bxcx有两个相等的实数根. (1)求抛物线的解析式;
(2)若n5,试比较y1与y2的大小;
(3)若B,C两点在直线x1的两侧,且y1y2,求n的取值范围. 【解答】(1)抛物线yax2bxc经过A(2,0), 04a2bc①,
对称轴是直线x1, b1②, 2a关于x的方程ax2bxcx有两个相等的实数根,
△(b1)24ac0③,
1a2由①②③可得:b1,
c0抛物线的解析式为yx2x;
12(2)n5,
3n419,5n619
点B,点C在对称轴直线x1的左侧,
1抛物线yx2x,
210,即y随x的增大而增大,
2(3n4)(5n6)2n102(n5)0, 3n45n6, y1y2;
(3)若点B在对称轴直线x1的左侧,点C在对称轴直线x1的右侧时,
3n41由题意可得5n61,
1(3n4)5n610n5, 3若点C在对称轴直线x1的左侧,点B在对称轴直线x1的右侧时, 3n41由题意可得:5n61,
3n411(5n6)不等式组无解,
综上所述:0n5. 319.(2020•镇江)如图①,直线l经过点(4,0)且平行于y轴,二次函数yax22axc(a、
c是常数,a0)的图象经过点M(1,1),交直线l于点N,图象的顶点为D,它的对称轴
与x轴交于点C,直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点. (1)当a1时,求点N的坐标及(2)随着a的变化,
AC的值; BCAC的值是否发生变化?请说明理由; BC(3)如图②,若FBFE,BC2BE,E是x轴上位于点B右侧的点,DE交抛物线于点F.求此时的二次函数表达式.
【解答】(1)分别过点M、N作MECD于点E,NFDC于点F, ME//FN//x轴,
DME∽DAC,DCB∽DFN,
MEDEBCDC,, ACDCFNDFa1,则yx22xc,
将M(1,1)代入上式并解得:c4,
抛物线的表达式为:yx22x4,
则点D(1,5),N(4,4),
则ME2,DE4,DC5,FN3,DF9,
524BC55,,解得:AC,BC,
3AC5392AC3; BC2(2)不变,理由:
yax22axc过点M(1,1),则a2ac1, 解得:c12a,
yax22ax(13a),
点D(1,14a),N(4,15a),
ME2,DE4a,
由(1)的结论得:AC
14a14a,BC, 2a3aAC3; BC2(3)过点F作FHx轴于点H,则FH//l,则FHE∽DCE,
FBFE,FHBE, BHHE,
BC2BE,
则CE6HE, CD14a, FHBC14a, a1, 3aa120a5, CH43a12a1255F(1,a),
63312a将点F的坐标代入yax22ax(13a)a(x1)(x3)1得: 125555aa(11)(13)1, 63312a312a51解得:a或(舍弃),
445经检验a,
45519故yx2x.
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