专题08 二次函数(解析版)

一．选择题（共2小题）

1．（2020•南通）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BED运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现

P，Q两点同时出发，设运动时间为x(s)，BPQ的面积为y(cm2)，若y与x的对应关系

如图②所示，则矩形ABCD的面积是( )

A．96cm2

B．84cm2

C．72cm2

D．56cm2

【解答】从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x10，y30， 过点E作EHBC，由三角形面积公式得：y11BQEH10EH30， 22解得EHAB6，

AEBE2AE2102628， 由图2可知当x14时，点P与点D重合， ADAEDE8412，

矩形的面积为12672．

故选：C．

2．（2020•镇江）点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数yx2ax4的图象上．则mn的最大值等于( ) A．

15 4B．4 C．15 4D．17 4【解答】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数yx2ax4的图象上， a0，

nm24，

115mnm(m24)m2m4(m)2，

24当m115时，mn取得最大值，此时mn， 24故选：C．

二．填空题（共4小题）

3．（2020•无锡）二次函数yax23ax3的图象过点A(6,0)，且与y轴交于点B，点M在3该抛物线的对称轴上，若ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 (，

239)或(，6) ．

2【解答】把点A(6,0)代入yax23ax3得，036a18a3， 1解得：a，

611yx2x3，

62B(0,3)，抛物线的对称轴为x12()6123， 23设点M的坐标为：(，m)，

2当ABM90，

过B作BD对称轴于D， 则123， tan2tan1

62， 3DM2， BDDM3， 3M(，6)，

2当MAB90， tan3MN6tan12， AN3MN9， 3M(，9)，

233综上所述，点M的坐标为(，9)或(，6)．

224．（2020•南京）下列关于二次函数y(xm)2m21(m为常数）的结论：①该函数的图象与函数yx2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当x0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数yx21的图象上．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．

【解答】①二次函数y(xm)2m1(m为常数）与函数yx2的二次项系数相同，

该函数的图象与函数yx2的图象形状相同，故结论①正确；

②在函数y(xm)2m21中，令x0，则ym2m211，

该函数的图象一定经过点(0,1)，故结论②正确；

③

y(xm)2m21，

抛物线开口向下，对称轴为直线xm，当xm时，y随x的增大而减小，故结论③错误；

④抛物线开口向下，当xm时，函数y有最大值m21，

该函数的图象的顶点在函数yx21的图象上．故结论④正确，

故答案为①②④．

5．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min)满足函数表达式y0.2x21.5x2，则最佳加工时间为 3.75 min．

【解答】根据题意：y0.2x21.5x2， 当x1.53.75时，y取得最大值，

2(0.2)则最佳加工时间为3.75min． 故答案为：3.75．

6．（2020•淮安）二次函数yx22x3的图象的顶点坐标为 (1,4) ． 【解答】

yx22x3

(x22x11)3 (x1)24，

顶点坐标为(1,4)．

故答案为：(1,4)． 三．解答题（共13小题）

7．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB20米，BC30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元． （1）当x5时，求种植总成本y；

（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．

【解答】（1）当x5时，EF202x10，EH302x20，

11y2(EHAD)20x2(GHCD)x60EFEH40(2030)520(1020)5602010402200022

（2）EF(202x)米，EH(302x)米， 参考（1），由题意得：

y(30302x)x20(20202x)x60(302x)(202x)40400x24000(0x10)；（3）S甲21EHAD2x302x30x2x260x， 2同理S乙2x240x，

甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，

2x260x(2x240x)120， 解得：x6， 故0x6，

而y400x24000随x的增大而减小，故当x6时，y的最小值为21600， 即三种花卉的最低种植总成本为21600元．

8．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y12x的图象4于点A，AOB90，点B在该二次函数的图象上，设过点(0,m)（其中m0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN． （1）若点A的横坐标为8． ①用含m的代数式表示M的坐标；

②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． （2）当m2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式． 【解答】（1）①点A在yA(8,16)，

直线OA的解析式为y2x，

12x的图象上，横坐标为8， 4点M的纵坐标为m， 1M(m，m)．

2②假设能在抛物线上， AOB90，

直线OB的解析式为yx，

12点N在直线OB上，纵坐标为m， N(2m,m)，

3MN的中点的坐标为(m，m)，

4332． P(m，2m)，把点P坐标代入抛物线的解析式得到m291（2）①当点A在y轴的右侧时，设A(a,a2)，

4直线OA的解析式为y1ax， 48M(，2)，

aOBOA，

直线OB的解析式为ya4x，可得N(，2)，

2a8a8aP(，4)，代入抛物线的解析式得到，4，

a2a2解得a424，

直线OA的解析式为y(21)x．

②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，

直线OA 的解析式为yx(21)x，

4a综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y(21)x或y(21)x．

9．（2020•苏州）如图，二次函数yx2bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D(2,3)． （1）求b的值；

（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P(x1，y1)、Q(x2，y2)．若|y1y2|2，求x1、x2的值．

【解答】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D(2,3)， 1故抛物线的对称轴为x2，即b2，解得：b4，

2故抛物线的表达式为：yx24x；

（2）把y3代入yx24x并解得x1或3， 故点B、C的坐标分别为(1,3)、(3,3)，则BC2， 四边形PBCQ为平行四边形， PQBC2，故x2x12，

又

2y1x124x1，y2x24x2，|y1y2|2，

24x2)|2，|x1x24|1． 故|(x124x1)(x2x1x25或x1x23，

3xx2x1212由，解得；

xx5712x221x1xx22由21，解得．

xx3512x2210．（2020•苏州）如图，已知MON90，OT是MON的平分线，A是射线OM上一点，OA8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t(s)，其中0t8．

（1）求OPOQ的值；

（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（3）求四边形OPCQ的面积．

【解答】（1）由题意可得，OP8t，OQt， OPOQ8tt8(cm)．

（2）当t4时，线段OB的长度最大．

如图，过点B作BDOP，垂足为D，则BD//OQ． OT平分MON， BODOBD45， BDOD，OB2BD．

设线段BD的长为x，则BDODx，OB2BD2x，PD8tx， BD//OQ，



PDBD， OPOQ8txx， 8tt8tt2． x88tt22OB2(t4)222．

88当t4时，线段OB的长度最大，最大为22cm． （3）POQ90， PQ是圆的直径． PCQ90． PQCPOC45， PCQ是等腰直角三角形． SPCQ11221PCQCPQPQPQ2． 22224在RtPOQ中，PQ2OP2OQ2(8t)2t2．

四边形OPCQ的面积SSPOQSPCQ11OPOQPQ2， 2411t(8t)[(8t)2t2]， 24114tt2t2164t16．

22四边形OPCQ的面积为16cm2．

11．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1180x2250，y2与x之间的函数表达式是y210x2100x2000．

（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 250 m．

（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？ 【解答】（1）

y1180x2250，y210x2100x2000，

当x0时，y12250，y22000，

小丽出发时，小明离A地的距离为22502000250(m)，

故答案为：250；

（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则

s(180x2250)(10x2100x2000)10x280x25010(x4)290，

当x4时，s取得最小值，此时s90，

答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．

12．（2020•泰州）如图，二次函数y1a(xm)2n，y26ax2n(a0，m0，n0)的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．

（1）若P点的坐标为(0,2)，C1的顶点坐标为(2,4)，求a的值； （2）设直线PA与y轴所夹的角为．

①当45，且A为C1的顶点时，求am的值； ②若90，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，

PA的值不变； PB（3）若PA2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．

【解答】（1）由题意m2，n4，

y1a(x2)24， 1把(0,2)代入得到a．

2（2）①如图1中，过点A作ANx轴于N，过点P作PMAN于M．

y1a(xm)2nax22amxam2n， P(0,am2n)， A(m,n)，

PMm，ANn， APM45， AMPMm，

mam2nn， m0， am1．

②如图2中，由题意ABy轴，

P(0,am2n)，

当yam2n时，am2n6ax2n， 解得xB(PB6m， 66m，am2n)， 66m， 6AP2m，

PA2m26． PB6m6（3）如图3中，过点A作AHx轴于H，过点P作PKAH于K，过点B作BEKP交

KP的延长线于E．

设B(b,6ab2n)，

PA2PB，

A(2b，a(2bm)2n)， BE//AK，



BEPB1， AKPA2AK2BE，

a(2bm)2nam2n2(am2n6ab2n)， 整理得：m22bm8b20， (m4b)(m2b)0， m4b0， m2b0， m2b，

A(m,n)，

点A是抛物线C1的顶点．

13．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1:y123交x轴于点A、B（点A在点Bxx2的顶点为D，

22左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点(2,12)，求L2对应的函数表达式； （2）当BPCP的值最大时，求点P的坐标；

（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若DPQ与ABC相似，求其“共根抛物线” L2的顶点P的坐标．

13【解答】（1）当y0时，x2x20，解得x1或4，

22A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)，

由题意设抛物线L2的解析式为ya(x1)(x4)， 把(2,12)代入ya(x1)(x4)， 126a，

解得a2，

抛物线的解析式为y2(x1)(x4)2x26x8．

（2）抛物线L2与L1是“共根抛物线”， A(1,0)，B(4,0)，

抛物线L1，L2的对称轴是直线x点P在直线x3， 23上， 2BPAP，如图1中，当A，C，P共线时，BPPC的值最大，

此时点P为直线AC与直线x3的交点， 2直线AC的解析式为y2x2， 3P(，5)

2（3）由题意，AB5，CB25，CA5， AB2BC2AC2， ACB90，CB2CA， y1231325， xx2(x)2222283225)， 8顶点D(，由题意，PDQ不可能是直角， 第一种情形：当DPQ90时， ①如图31中，当QDP∽ABC时，

QPAC1， DPBC231133设Q(x,x2x2)，则P(，x2x2)，

22222DP123251393 xx2()x2x，QPx，

2282282PD2QP， 2x31239113， xx，解得x或（舍弃）

22822339P(，)．

28

②如图32中，当DQP∽ABC时，同法可得PQ2PD， x39x23x， 2453或（舍弃）， 22解得x321P(，)．

28第二种情形：当DQP90． ①如图33中，当PDQ∽ABC时，

PQAC1， DQBC2过点Q作QMPD于M．则QDM∽PDQ，

QMPQ13391139，由图33可知，M(，)，Q(，)， MDDQ28822MD8，MQ4， DQ45，

由

DQPD，可得PD10， DMDQ325D(，) 28355P(，)．

28②当DPQ∽ABC时，过点Q作QMPD于M． 321521同法可得M(，)，Q(，)，

828251，QM1，QD，

22QDPD5由，可得PD， DMDQ2DM53P(，)．

8214．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数

yax22ax3a(a0)的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点

E．过点C作CD//x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点

G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．

（1）点E的坐标为： (1,0) ；

（2）当HEF是直角三角形时，求a的值； （3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

【解答】（1）对于抛物线yax22ax3a，对称轴xE(1,0)，

2a1， 2a故答案为(1,0)． （2）如图，连接EC．

对于抛物线yax22ax3a，令x0，得到y3a， 令y0，ax22ax3a0，解得x1或3， A(1,0)，B(3,0)，C(0,3a)， C，D关于对称轴对称，

D(2,3a)，CD2，ECDE，

当HEF90时， EDEC， ECDEDC， DCF90，

CFDEDC90，ECFECD90， ECFEFC， ECEFDE， EA//DH，

FAAH，

AE1DH， 2AE2， DH4，

HEDFEFED， FHDH4，

在RtCFH中，则有4222(6a)2， 解得aa33或（不符合题意舍弃）， 333． 3当HFE90时，OAOE，FOAE，

FAFE，

OFOAOE1， 3a1， a1， 3综上所述，满足条件的a的值为

（3）结论：EH//GK．

31或． 33理由：由题意A(1,0)，F(0,3a)，D(2,3a)，H(2,3a)，E(1,0)，

直线AF的解析式y3ax3a，直线DF的解析式为y3ax3a，

y3ax3ax1x6由，解得或， 2yax2ax3ay0y21aK(6,21a)，

y3ax3ax2x3由，解得或， 2yax2ax3ay3ay12aG(3,12a)，

直线HE的解析式为yaxa，

直线GK的解析式为yax15a， k相同，

HE//GK．

15．（2020•常州）如图，二次函数yx2bx3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C(1,0)，且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD． （1）填空：b 4 ；

（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若CQDACB，求点P的坐标；

（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．

【解答】（1）抛物线yx2bx3的图象过点C(1,0)， 01b3， b4，

故答案为：4； （2）b4，

抛物线解析式为yx24x3

抛物线yx24x3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点

B，

点A(0,3)，3x24x3，

，x24， x10（舍去）

点B(4,3)，

yx24x3(x2)21，

顶点D坐标(2,1)，

如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CEAB于E，设BD与x轴交于点F， 点A(0,3)，点B(4,3)，点C(1,0)，CEAB，

点E(1,3)，CEBE3，AE1，

EBCECB45，tanACEBCF45，

AE1， EC3点B(4,3)，点C(1,0)，点D(2,1)， BC9932，CD112，

BD(42)2(31)225，

BC2CD220BD2， BCD90， tanDBCCD21tanACE， BC323ACEDBC，

ACEECBDBCBCF， ACBCFD，

又CQDACB，

点F与点Q重合，

点P是直线CF与抛物线的交点，

0x24x3， x11，x23，

点P(3,0)；

当点Q在点D下方上，过点C作CHDB于H，在线段BH的延长线上截取HFQH，连接CQ交抛物线于点P， CHDB，HFQH，

CFCQ，

CFDCQD， CQDACB， CHBD，

点B(4,3)，点D(2,1)，

直线BD解析式为：y2x5， 点F(，0)，

直线CH解析式为：yx52121， 211yx22， y2x511x5解得，

3y5点H坐标为(311，)，

55FHQH，

点Q(619，)，

510434， 3直线CQ解析式为：yx44yx联立方程组33，

2yx4x35xx1123解得：或，

y081y29点P(，)；

5385综上所述：点P的坐标为(3,0)或(，)；

93（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CHBD于H，过点N作MNx轴，过点E作EMMN，连接CG，GF，

点A(0,3)，点C(1,0)，

直线AC解析式为：y3x3，

y3x3，

y2x58x5，

9y5点N坐标为(，)，

8595311点H坐标为(，)，

551139118399CH2(1)2()2，HN2()2()2，

55555555CHHN， CNH45，

点E关于直线BD对称的点为F， ENNF，ENBFNB45， ENF90，

ENMFNM90，

又ENMMEN90， MENFNM，

EMNNKF(AAS) EMNK9，MNKF， 515点E的横坐标为， 点E(，

1518)， 5MNCF27KF， 582716， 55点F关于直线BC对称的点为G， FCCG6，BCFGCB45， GCF90，

点G(1,6)，

AG12(63)210．

16．（2020•盐城）若二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点M(x1，0)，N(x2，0)(0x1x2)，且经过点A(0,2)．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点

满足ACN是等腰直角三角形，记AMN的B（异于点A)．

5积为S1，BMN的面积为S2，且S2S1．

2面

（1）抛物线的开口方向 上 （填“上”或“下” )； （2）求直线l相应的函数表达式； （3）求该二次函数的表达式．

【解答】（1）如图，如二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点M(x1，0)，N(x2，0)(0x1x2)，且经过点A(0,2)．

抛物线开口向上，

故答案为：上；

（2）①若ACN90，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点， 因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A)，所以不合题意，舍去； ②若ANC90，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去； ③若CAN90，则ACNANC45，AOCONO2， C(2,0)，N(2,0)，

b2设直线l为ykxb，将A(0，2)C(2，0)代入得，

2kb0k1解得，

b2直线l相应的函数表达式为yx2；

（3）过B点作BHx轴于H， 11S1MNOA，S2MNBH，

225S2S1，

2OA5BH， 2OA2， BH5，

即B点的纵坐标为5，代入yx2中，得x3， B(3,5)，

c2将A、B、N三点的坐标代入yax2bxc得4a2bc0，

9a3bc5a2解得b5，

c2抛物线的解析式为y2x25x2．

17．（2020•淮安）如图①，二次函数yx2bx4的图象与直线l交于A(1,2)、B(3,n)两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线1于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m． （1）b 1 ，n ；

（2）若点N在点M的上方，且MN3，求m的值；

（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②)． ①记NBC的面积为S1，NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1S26？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由． ②当m1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90得到线段MF，连接FB、FC、OA．若FBAAODBFC45，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．

【解答】（1）将点A(1,2)代入二次函数yx2bx4中，得1b42， b1，

二次函数的解析式为yx2x4，

将点B(3,n)代入二次函数yx2x4中，得n9342， 故答案为：1，2；

（2）设直线AB的解析式为ykxa，由（1）知，点B(3,2)， A(1,2)， ka2，

3ka2k1，

a1直线AB的解析式为yx1，

由（1）知，二次函数的解析式为yx2x4， 点P(m,0)，

M(m,m1)，N(m,m2m4)，

点N在点M的上方，且MN3，

m2m4(m1)3， m0或m2；

（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为yx1，

直线CD的解析式为yx14x5，

令y0，则x50， x5，

C(5,0)，

A(1,2)，B(3,2)，

直线AC的解析式为yx135，直线BC的解析式为yx5， 3过点N作y轴的平行线交AC于K，交BC于H，点P(m,0)， 15N(m,m2m4)，K(m,m)，H(m,m5)，

3317NKm2m4mm2m，NHm29，

3333S2SNACS1SNBC1147NK(xCxA)(m2m)63m24m7， 22331NH(xCxB)m29， 2S1S26，

m29(3m24m7)6，

m13（由于点N在直线AC上方，所以，舍去）或m13；

S23m24m73(13)24(13)7231，

S1m29(13)29235；

②如图2，

记直线AB与x轴，y轴的交点为I，L， 由（2）知，直线AB的解析式为yx1， I(1,0)，L(0,1)， OLOI，

ALDOLI45， AODOAB45，

过点B作BG//OA， ABGOAB， AODABG45，

FBAABGFBG，FBAAODBFC45， ABGFBGAODBFC45， FBGBFC， BG//CF， OA//CF，

A(1,2)，

直线OA的解析式为y2x，

C(5,0)，

直线CF的解析式为y2x10，

过点A，F分别作过点M平行于x轴的直线的垂线，交于点Q，S， AQMMSF90，

点M在直线AB上，m1， M(m,m1)， A(1,2)， MQm1，

设点F(n,2n10)，

FS2n10m12nm9，

由旋转知，AMMF，AMF90， MAQAMQ90AMQFMS， MAQFMS， AQMMSF(AAS)， FSMQ， 2nm9m1， n4，

F(4,2)，

直线OF的解析式为y1x①， 2二次函数的解析式为yx2x4②， 165165xx44联立①②解得，或，

y165y16588直线OF与该二次函数图象交点的横坐标为165165或． 44

18．（2020•南通）已知抛物线yax2bxc经过A(2,0)，B(3n4,y1)，C(5n6,y2)三点，对称轴是直线x1．关于x的方程ax2bxcx有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式；

（2）若n5，试比较y1与y2的大小；

（3）若B，C两点在直线x1的两侧，且y1y2，求n的取值范围． 【解答】（1）抛物线yax2bxc经过A(2,0)， 04a2bc①，

对称轴是直线x1， b1②， 2a关于x的方程ax2bxcx有两个相等的实数根，

△(b1)24ac0③，

1a2由①②③可得：b1，

c0抛物线的解析式为yx2x；

12（2）n5，

3n419，5n619

点B，点C在对称轴直线x1的左侧，

1抛物线yx2x，

210，即y随x的增大而增大，

2(3n4)(5n6)2n102(n5)0， 3n45n6， y1y2；

（3）若点B在对称轴直线x1的左侧，点C在对称轴直线x1的右侧时，

3n41由题意可得5n61，

1(3n4)5n610n5， 3若点C在对称轴直线x1的左侧，点B在对称轴直线x1的右侧时， 3n41由题意可得：5n61，

3n411(5n6)不等式组无解，

综上所述：0n5． 319．（2020•镇江）如图①，直线l经过点(4,0)且平行于y轴，二次函数yax22axc(a、

c是常数，a0)的图象经过点M(1,1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴

与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点． （1）当a1时，求点N的坐标及（2）随着a的变化，

AC的值； BCAC的值是否发生变化？请说明理由； BC（3）如图②，若FBFE，BC2BE，E是x轴上位于点B右侧的点，DE交抛物线于点F．求此时的二次函数表达式．

【解答】（1）分别过点M、N作MECD于点E，NFDC于点F， ME//FN//x轴，

DME∽DAC，DCB∽DFN，



MEDEBCDC，， ACDCFNDFa1，则yx22xc，

将M(1,1)代入上式并解得：c4，

抛物线的表达式为：yx22x4，

则点D(1,5)，N(4,4)，

则ME2，DE4，DC5，FN3，DF9，



524BC55,，解得：AC，BC，

3AC5392AC3； BC2（2）不变，理由：

yax22axc过点M(1,1)，则a2ac1， 解得：c12a，

yax22ax(13a)，

点D(1,14a)，N(4,15a)，

ME2，DE4a，

由（1）的结论得：AC

14a14a，BC， 2a3aAC3； BC2（3）过点F作FHx轴于点H，则FH//l，则FHE∽DCE，

FBFE，FHBE， BHHE，

BC2BE，

则CE6HE， CD14a， FHBC14a， a1， 3aa120a5， CH43a12a1255F(1，a)，

63312a将点F的坐标代入yax22ax(13a)a(x1)(x3)1得： 125555aa(11)(13)1， 63312a312a51解得：a或（舍弃），

445经检验a，

45519故yx2x．

424