初二数学.春.直升班.教师版.第6讲 四点共圆(一)1

模块一：辅助圆思想

平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．

OABC 几何条件：OAOBOC． O． 辅助圆：以O为圆心、OA为半径作圆⊙O上． ∵OAOBOC，∴点B、C在⊙AαO2αCD 几何条件：OCOD,COD2CAD． O． 辅助圆：以O为圆心、OC为半径作圆⊙O上． ∵OCOD，COD2CAD，∴点A、D在⊙模块二：四点共圆的判定（一）

BCAD E若平面上A、B、C、D四个点满足ABDACD，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证． EAEBECED）DAC E若平面上A、B、C、D四个点满足ABCADC，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证． EAEBECED）BDHOABC 若平面上A、B、C、D四个点满足ADBACB，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：线段同侧张角相等． DCOAB 若平面上A、B、C、D四个点满足ABCADC，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角．

例题1：（1）如图1-1，四边形ABCD中，ABACAD，若CAD76，BDC13，则CBD_____，BAC__________．

（2）如图1-2，已知四边形ABCD，AB//CD，ABACADa，BCb，且2ab，求BD的值．

A D CDBCA

图1-1 图1-2：

B

例题2：（1）如图2-1，平面上有四个点A、O、B、C，其中AOB120，ACB60，AOBO，AB23，则OC__________．

（2）如图2-2，在△ABC中，ACB90，ACBC，点P为△ABC外一点（P与C在直线AB异侧），且APB45．设点P关于AB的对称点为E，连接PE、CE，试判定线段AB与CE的数量关系，并给予证明．

EC C

OABBA图2-1 图2-2

P

例题3：如图，E，B，A，F四点共线，点D是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB上异于A，B的一个动点，且满足CPD30，则（） A．点P一定在射线BE上 B．点P一定在线段AB上

C．点P可以在射线AF上，也可以在线段AB上 D．点P可以在射线BE上，也可以在线段AB上

EBACDF

例题4：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CDAB于K．E为劣弧AC上的一点，连接AE交DC延长线于F．求证：E、F、B、K四点共圆．

AEFCOKBD

例题5：（1）如图5-1，四边形ABCD内接于⊙O，P、Q、R分别是AB、BC、AD的中点．连接PQ与DA的延长线交于S，连接PR与CB延长线交于T．求证：S、T、Q、R四点共圆．

（2）如图5-2，△ABC中，以AB为直径作圆，交BC于H，交BAC的平分线于D，作CKAD于K，M为BC中点．求证：D、M、K、H四点共圆．

STBQCAPRDAOKBMDHCO

图5-1 图5-2

例题 6：（1）如图6-1，BCAE，EDAB，且BC、DE相交于G．H为AE延长线上的一点，CHAC．求证：B、G、E、H四点共圆．

（2）如图6-2，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F也四点共圆．

ABDGAFEPCHBDCE

图6-1 图6-2

例题7：AD、BE、CF是△ABC的三条高，相交于垂心H，在A、B、C、D、E、F、H七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？ A

BDCFHE

演练1：在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ．线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明.

ABMPQCD

演练2：平面上有四个点A、O、B、C，其中AOB120，ACB60，AOBO2，则满足题意的OC长度的整数的值可以是____________．

演练3：如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法： D MA①当ACBD时，M、E、N、F四点共圆．

②当ACBD时，M、E、N、F四点共圆．

F③当ACBD，且ACBD时，M、E、N、F四点共圆． E其中正确的是_____________．

BNC

演练4：如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，过P作割线交⊙O于C、D，过B作BE//CD，连接AE交PD于M，求证：A、M、O、P四点共圆．

ADMOBCPE

演练5：过两圆交点A、B之一的点A，引两条直线CAD、PAQ，分别与两圆交于C、D、P、Q，设CP与DQ的交点为R，求证：B、C、R、D四点共圆． R

CAQPBD