阿氏圆

中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练

阿氏圆(阿波罗尼斯圆)： PCk (k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹PB最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造\"斜A\"型相似(也叫\"母子型相似\")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。 在几何画板上观察下面的图形，当P在在圆A上运动时，PC、PB的长在不断的发生变化，但PC的比值却始终保持不变。 PB解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。 APAC如图，在△APB的边AB上找一点C，使得，则此时△APC∽△ABP。 ABAP 母子型相似（共角共边）

P

ACB

那么如何应用\"阿氏圆\"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:

A例：已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点. 1(1)求APBP的最小值为 21(2)求APBP的最小值为

3P

BOC

PCOPOC第（1）问解题基本步骤：构造△OPC∽△OBP,则k（相似比）

BPOBOP

①分别连接圆心O与系数不为1的线段BP的两端点，即OP，OB;

已知平面上两定点C、B，则所有满足②计算

半径OPOP1的值，则k） （OBOB2圆心到定点的距离OC1k得：OCOP（相似比×半径） OP21④连接AC，当A、P、C三点共线时，APBPAPPCAC

2⑤计算AC的长度即为最小值.

③计算OC的长度，由

1 / 4

阿氏圆

实战练习：

1、已知⊙O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点， 试求

AOD2PCPD的最小值 2CPB2、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求

1APBP的最小值 2 yB

P

OAx

3、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，

1（1）APBP的最小值;

4yB（2）S的最小值.

PAB P AOxC

4、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD=2，BC=7. (1)求OD的长；

（2）如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ. ①求证：△OPQ∽△ODP;

②是否存在点P，使PD2PC有最小值，若存在，试求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由.

2 / 4

阿氏圆

5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，

11求PDPC的最小值和PDPC的最大值.

22(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么

22PDPC的最小值为 ；PDPC的最大值为 33（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个

11动点.那么PDPC的最小值为 ；PDPC的最大值为 22

6、（2016年＊ 济南28题）如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

C6（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若1＝，求m的値；

C25（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连

2

接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．

3

yPBBMNAOExOE'ENAxyPM第28题图1

3 / 4

第28题图2

阿氏圆

7、（2017年＊遵义27题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=

816x+． 93（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由； ii：试求出此旋转过程中，（NA+

NP始终保持不变，若存在，NB3NB）的最小值． 4

4 / 4