中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练
阿氏圆(阿波罗尼斯圆): PCk (k不等于1)的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹PB最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造\"斜A\"型相似(也叫\"母子型相似\")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。 在几何画板上观察下面的图形,当P在在圆A上运动时,PC、PB的长在不断的发生变化,但PC的比值却始终保持不变。 PB解决阿氏圆问题,首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。 APAC如图,在△APB的边AB上找一点C,使得,则此时△APC∽△ABP。 ABAP 母子型相似(共角共边)
P
ACB
那么如何应用\"阿氏圆\"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:
A例:已知∠AOB=90°,OB=4,OA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点. 1(1)求APBP的最小值为 21(2)求APBP的最小值为
3P
BOC
PCOPOC第(1)问解题基本步骤:构造△OPC∽△OBP,则k(相似比)
BPOBOP
①分别连接圆心O与系数不为1的线段BP的两端点,即OP,OB;
已知平面上两定点C、B,则所有满足②计算
半径OPOP1的值,则k) (OBOB2圆心到定点的距离OC1k得:OCOP(相似比×半径) OP21④连接AC,当A、P、C三点共线时,APBPAPPCAC
2⑤计算AC的长度即为最小值.
③计算OC的长度,由
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阿氏圆
实战练习:
1、已知⊙O半径为1,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点, 试求
AOD2PCPD的最小值 2CPB2、已知点A(4,0),B(4,4),点P在半径为2的⊙O上运动,试求
1APBP的最小值 2 yB
P
OAx
3、已知点A(-3,0),B(0,3),C(1,0),若点P为⊙C上一动点,且⊙C与y轴相切,
1(1)APBP的最小值;
4yB(2)S的最小值.
PAB P AOxC
4、如图1,在平面直角坐标系xoy中,半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点,AD、BC均为半⊙O的切线,AD=2,BC=7. (1)求OD的长;
(2)如图2,若点P是半⊙O上的动点,Q为OD的中点.连接PO、PQ. ①求证:△OPQ∽△ODP;
②是否存在点P,使PD2PC有最小值,若存在,试求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.
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阿氏圆
5、(1)如图1,已知正方形ABC的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,
11求PDPC的最小值和PDPC的最大值.
22(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么
22PDPC的最小值为 ;PDPC的最大值为 33(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2.点P是圆B上的一个
11动点.那么PDPC的最小值为 ;PDPC的最大值为 22
6、(2016年* 济南28题)如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
C6(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若1=,求m的値;
C25(3)如图2,在(2)的条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连
2
接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.
3
yPBBMNAOExOE'ENAxyPM第28题图1
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第28题图2
阿氏圆
7、(2017年*遵义27题)如图,抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b(a<0,a、b为常数)与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点,直线AB的函数关系式为y=
816x+. 93(1)求该抛物线的函数关系式与C点坐标;
(2)已知点M(m,0)是线段OA上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,当m为何值时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形?
(3)在(2)问条件下,当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时,动点M相应位置记为点M′,将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间);
i:探究:线段OB上是否存在定点P(P不与O、B重合),无论ON如何旋转,试求出P点坐标;若不存在,请说明理由; ii:试求出此旋转过程中,(NA+
NP始终保持不变,若存在,NB3NB)的最小值. 4
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