第七章应力状态分析(一)

第七章应力和应变分析强度理论

第一节应力状态的概述

同一截面上不同点的应力各不相同。任一点应力

是该点坐标的函数。前面已经学习。N,上的应力是截面倾角的函数。本章学习内容。,IpIzAnP轴向拉压时，斜截面上的应力同一点的不同方向面上应力各不相同。任一截面TMy轴向拉压除外。Pt2coscos, 2, sin2sin222221

昌

分析三种基本变形时，认为危险截面就是横截面，横截面上只存在正应力σ或者切应力τ的作用。左右侧面都是构件实际破坏并不一定发生在横截面上。横截面。构件在复杂受力情况下，某截面上同时存在正应力和切应力时，危险截面如何确定？轴向拉压变形的杆：这些单元体都是特殊方位的单元体PAPAA扭转变形的轴：

mAAm2

昌

受扭转和拉伸共同作用的圆杆

mPPmN4P2AdT16m3wpd该构件的危险截面是否还是横截面？强度条件是否还是：σ≤[σ]、τ≤[τ] ？

3

昌重点：构件任意斜截面上的应力状态如何？怎样计算？哪一个截面是危险截面？倾斜角度是多少？最大应力是多少？一、单元体：研究某一点应力状态时，通常是围绕该点截取一个尺寸为无穷小的正六面体。（围绕一点可以截取无数个）二、点的应力状态：研究通过某一点的各个不同方位截面上的应力变化情况。（过一点可以切取无数个斜面）

六个侧面如何确定？三、单元体的特点：

•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。•

⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单元体方位，通常用特殊方位截取单元体。

4

昌

•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。••

••

⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单⑶、单元体相互垂直的两个侧面符合剪应力互等定理。元体方位，通常用特殊方位截取单元体。方便计算。⑷、单元体代表一个点，6 个微面上的应力代表一点的三⑸、当某一个单元体三个相互垂直的侧面上的应力已知时，注意：我们所研究的对象不断改变：

刚体→变形体→构件→微段→单元体。从研究对象的宏观世界进入到微观世界。

5

这是重点啊。个侧面上的应力。

可以计算该点任意截面上的应力----应力转换公式。昌

横力弯曲变形的梁：

PABCDEFQmaxmaxmmaxBCADE6

昌

四、单元体上应力的表示和方向：

每个微面上的应力可以分解为：1个正应力和2个剪应力。参照空间力系σx、σy、σz分别是x、y、z轴方向上的正应力。简化，分解。xy各侧面上的剪应力：yx,xzzx,yzzy剪应力应有两个角标：第一个角标

表示剪应力作用平面的法线坐标方向，第二个角标表示剪应力方向平行的坐标轴方向。

应力正负号规定：正应力以拉应力为正。剪应力对单元体内任意一点之矩为顺时针转向时，剪应力为正。yyzyyxxyzxzyxzzxzx7

yyzyyxy昌yyxyxxyzxzyxzzxzxxxxzy空间力系作用。平面力系作用。五、主应力：单元体上剪应力为零的平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平面的法线方向称为主方向；

围绕一点取出的无数个单元体中，必存在一个由三个主平面组成的单元体-----称为主单元体。

8

三个主应力用σ1、σ2、σ3表示，按代数值大小顺序排列，即σ1≥ σ2≥ σ3六、应力状态的分类：1、三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零。2、二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零。1昌y3z2xy1311x39z昌

3、单向应力状态（简单应力状态）：

11三个主应力中只有一个不等于零。

PABCDEFQmaxmmaxmaxABCDE这可不是单向应力状态啊！10

昌

例1：圆筒形薄壁压力容器，内径为D、壁厚为t，承受内压力p作用，试分析其应力状态。

pp解：作用于筒底的总压力为：FpD42设横向截面上的应力为。由横向截面上的静力平衡条件：

X0DF0pD得：411

昌

设纵向截面上的应力为。

p2FNFN1对长度为l的半圆段受力分析，列平衡方程为：

2FNlpsinRdplD0FNlpD则得2pD24pD三个主应力为：123012

昌

第三节

yx平面应力状态分析---解析法

yyxyxyyyxyxxzyxyxyxxxyx、

xyxσ

y、

如果已知某点单元体上的应力，如στ

αxy ，

⑴、怎样计算该点任意一斜截面上的正应力σ、切应力τα。

⑵、怎样计算该点的最大正应力、主应力的大小及其方位。⑶、怎样计算该点的极值切应力及其方位。

13

昌

一、斜截面上的应力---解析法：

在单元体上任取一个垂直于

yyeXOY平面的斜截面ef，其倾斜角度为，倾斜面上的正应力、xy剪应力（设正法）。注意：

夹角：由x轴为始边，转到斜截面的外法线n，逆时针转向时的角度为正，反之为负。yxxfnxxxyyx注意这个截面的特殊性---正垂面。对空间楔形体进行受力分析，建立静力平衡方程：14

y昌

dAdAcosdAsinFx0 F0yFn0 或 F0tcosdAsindAdAcosdAsin0xyxcosdAsindAdAsindAcos0xyy15

昌

经简化处理，得斜截面应力的一般公式---应力转换公式：xyxycos2xysin222xysin2xycos22注意：σα、τα都是2α的函数，利用上式可以确定正应力、剪应力的极值。并确定它们所在截面位置。二、极值正应力σmax、σmin及其所在平面方位角α0：xd哪些是常量，哪些是变量？y这个公式很重要啊！2(sin2xycos2)2d216昌

取=0时，xyd2(sin20xycos20)0d22xy00公式表明在00的截面上，正应力具有极值。得：tan20分析角度的象限。xy2maxxyxy2xymin2217

昌tan202xyxy2maxxyxy2xymin22说明：⑴、极值正应力所在平面的剪应力τα0 = 0，则说明此处的极值正应力σmax 、σmin 就是两个主应力。

⑵、注意三个主应力σ1、σ2、σ3与极值正应力σmax 、σmin 的关系。对于平面应力状态，有一个主应力等于0。

⑶、求出两个方位角：α0、α0+π/2，其中一个是最大正应力σmax 所在平面，另一个是最小正应力σmin 所在平面。两个截面相互垂直。？？18

昌

三、极值剪应力τmax 、τmin 及其所在平面方位角α1：

d取1时，(xy)cos212xysin210,d剪应力存在极值，得有关公式：d(xy)cos22xysin2dxytan212xymaxxy2xymin219

2昌

方位角α0与方位角α1之间的关系：

xytan212xytan202xyxyxyctan202xy注意有：tan21ctan20ctan20tan（9020）即104521209020

昌maxxyxymaxxymaxy222xyxyxy22min22minmin说明：⑴、极值正应力σmax 、σmin 所在平面与极值剪应力τmax 、

τmin 所在平面形成夹角为45°。⑵、求出两个方位角：α1、α1+π/2，对应最大剪应力τmax 所在平面和最小剪应力τmin所在平面。两个截面相互垂直。⑶、极值剪应力τmax 与τmin符合剪应力互等定理。

⑷、极值剪应力τmax 、τmin 所在平面的正应力一般不等于零。

22x2注意：若约定x＞y , 则0中绝对值较小的一个角度（锐角）确定max和x轴的夹角，即决定max所在的平面方位。21昌

四、两个互相垂直截面上应力的关系:

yyxxyx90xymaxmin互相垂直的两个截面上的正应力之和为一定值-----不变量。

即切应力互等定理。

22

昌

例题：求图示单元体斜截面上的应力。

y20MPa10MPa300解：

x40MPay20MPa40MPaxxy10MPa60060040(20)40(20)00cos(120)(10)sin(120)2213.67MPa40(20)00sin(120)(10)cos(120)21MPa223

n昌

另外，建立不同的坐标系，则有：

20MPa10MPa300x20MPaxy10MPay40MPa40MPay30此处：

0x300nxy24

昌

例题2：用解析法求图示单元体(1)指定斜截面上的正应力和剪

应力；(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)极值剪应力值。单位：MPa

yn30x解：⑴、如图所示建立x、y轴，则x80MPa, y40MPa, xy60MPa, yx60MPa, 30⑵、计算指定截面上的应力：

xyxycos2xysin222 102MPa25

xy2 22MPasin2xycos2⑶、计算主应力及其平面位置：

maxxyxy1052MPaxymin26522 得：1105MPa，20，365MPa由tg202xyxy1,得022.5及112.5对应max对应min26昌

365自x轴转过的角度。1105022.5x⑷、计算极值剪应力：

maxxy2xy85MPamin227

2xyxycos2xysin2第三节平面应力状态应力分析的图解法22---应力圆22xysin2一、应力圆的方程：正应力στα都是2α的函数，α、剪应力xycos22xyxycos2xysin222表示应力状态的圆xysin2cos的轨迹方程。2xy2α

2昌2消除α，得σ与τα

的函数关系--应力圆方程：22xyxy22xy2228

昌

二、应力圆的画法之一：

xyxy22xy22应力圆：σ

坐标为：

α

22、τ

α

为变量，以σ为横坐标，τ为纵坐标，圆心

xyC， 02半径为：R=R2xy2xy2oc单元体内任意斜面上的应力对应着应力圆上的一个点。29昌

二、应力圆的画法之二：

1、在单元体上选定x、y 轴，确定σx、σy、τxy、α值。通常取σx＞σy。2、建立σ-τ已知两个垂直（或坐标轴，按选定的比例量取（σx、τxy）定A点。注意：A点对应于单元体中以x轴为法线的侧面上的应力，它是角度不垂直）截面上的应力，这是基准点。2α的起点。( x侧面是基准面) ( A点是基准点)如何画出应力圆？这是基准面。yyyxxxA(x,xy)xyo30昌

2、( x侧面是基准面) ( A点是基准点)3、量取（σy、τyx）定B点。B点对应于单元体中以y轴为法线的侧面上的应力。

4、连接AB两点，因为剪应力互等，则AB连线必然为直径。5、AB连线与横轴交于C点，定圆心C点，过A、B点作圆，即得

应力圆。yyxyxA(x,xy)xyxoB(y,yx)c31

昌

注意：xyyx, AB连线是一条直径线。 x侧面与y侧面之间夹角=90，而ACB=180。故应力圆圆心角与单元体侧面方位角存在二倍角对应关系。这是应力圆的如何确定（特殊的任意）斜截面上应力？y画法之三。yenyxA(x,xy)xfxyxoB(y,yx)c32

昌

注意几种对应关系：

⑴、点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一（特殊的、正垂、任意）截面上的正应力和切应力；

⑵、转向对应—应力圆半径旋转方向与微元方向面法线旋转方向一致；这是基准点。⑶、二倍角对应—应力圆半径转过的角度等于微元方向面旋转这是基准面。角度的两倍。（注意：点A代表哪个面)yyyxxA(x,xy)oxB(y,yx)c33

xy昌

三、应力圆的应用：

1、利用应力圆，可以方便求出任意斜截面上的σα、τα：yye这是基准面。这是基准点。(,)yxnxf2A(x,x)xyxB(y,y)c注意：⑴、点面对应。⑵、转向对应。⑶、二倍角对应。（注意：点A代表哪个面)

34

昌

2、利用应力圆，可以确定单元体的主应力及主平面方位：Px分析应力圆上的和P两点：12y圆心坐标为， 02、0可知：P1 （σmax ）点代2表最大正应力所在的主平面；xy2半径为xyP2 （σmin 、0）点代表最2小正应力所在的主平面。(x,xy)201(y,yx)maxxyxy2occp1xymin22tg2012xy2xy(此处01为负值）35

昌

3、利用应力圆，可以确定单元体的极值剪应力及其平面方位：分析应力圆上的P3和P4 两点：可知：P3 （τmax 、0）点代表最大剪应力所在的平面；

P4 （τmin 、0）点代表最小剪应力所在的平面。

P3与P4相差180°，说明τmax 、τmin所在平面垂直。

P3与P1相差90°，说明τmax 与σmax所在主平面相差45°。

221(x,xy)201(y,yx)maxxy2minmax13xy2maxmin半径为max(?)p3c2xxmin2222236昌

例题3：用图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力；(2)主应力值及主方向；(3)极值剪应力值。解：建立坐标系。作应力圆。

y(,)n30x这是基准点。注意这个点啊。37作应力圆，从应力圆上可量出：(,)max105MPamin65MPa022.52045max85MPa102MPa22MPa注意这个点啊。这是基准点。38

昌

例题4：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭转时的破坏现象。解：yx横截面A(0,)maxyminxmaxmin0451339

B(0,)昌

结论：1、塑性材料扭转破坏时，沿横截面破坏：横截面上剪应力最大，材料被剪断。塑性材料抗剪能力小于抗拉能力。[τ]=（0.6~0.8）[σ]。

2、脆性材料扭转破坏时，沿着与轴线成45°倾角的螺旋面破坏：该平面使最大主应力作用面，说明材料被拉断。

低碳钢铸铁40

昌

例题5 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸如图。试绘出截面C上a、b两点处的应力圆，并用应力圆

求出这两点处的主应力。

120250kN9C1.6m2maz27041

ABb昌

解:（1）首先计算支反力, 并作出梁的剪力图和弯矩图。

FSmax =FC左= 200 kNMmax = MC= 80 kN·m

A250KNBC1.6m2m3120300111270Iz121274 8.810mmMyIzFSSIzd*z3200kN

+50kN

+42

昌（2）横截面C上a 点的应力为：120ya135mmz270S12015(1507.5) 2.5710mm53ab*za9MCaya122.5MPaIzFSSa.6MPaIzda点的单元体如图所示

*zayxxaxxy43

昌

（3）做a点的应力圆：

yx.6A1、A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力1 和3。xax122.5xy.61OA1150MPa3OA227MPaA1 点对应于单元体上1 所在的主平面

A2横截面(122.5 , .6)DBOC2047AA1023.5D′(0 , -.6)3144

昌

1150MPa 20327MPa1x3yx023.5axxy0（4）横截面C上b点的应力：

yb150mmMCbyb136.5MPaIzb0b点的单元体如图所示

xab1209zbx45

270昌

b 点的三个主应力为

xbx1136.5MPa,2301所在的主平面就是x平面, 即梁的横截面C 。而a点的主应力为：1150MPa，327MPa(0 , 0)B′(136.5 , 0)B146

第四版作业：7作业—4.d ：、7—5b4.d.e 、15*、。5b、7*、9*。第五版作业：7—3.d.e 、4b、6*、7*。昌47

昌

铸铁拉伸

低碳钢拉伸

塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？

48

昌

低碳钢扭转

铸铁扭转

为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？

49