均值不等式求最值的类型及方法(必修5)

一、函数f(x)axb(a、b0)图象及性质 xyb2aba(1)函数f(x)axba、b0图象如图： xba、b0性质： xo2abxba(2)函数f(x)ax①值域：(,2ab][2ab,)；

②单调递增区间：(,bb]，[,)；单调递减区间：(0,aabb,0). ]，[aa二、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ：求和的最值

例1、在下列条件下，求y4x2 （1）当x1的最值。 4x55时，求y的最大值； 45（2）当x时，求y的最小值；

4（3）当x2时，求y的最小值；

思考变式1：上例中各题的值域如何？，当1x2x5最值是什么？ 42：求函数yx1(x1)的最小值。 22(x1)评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆低次的式子）等方式进行构造。

类型Ⅱ：求积的最值

例2、当0x4时，求函数yx(82x)的最大值

思考变式：求下列函数的最值：

3) 232（2）yx(32x)(0x)

2（1）yx(32x)(0x评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

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类型Ⅲ：分式类型函数求最值

16x228x115(x)的值域。 例3、求y4x54

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

ymg(x)AB(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 g(x)4x5516x224x65(x)y(x)最值。 思考变式1：（1）求y最值；（2）求

16x228x11416x228x114 2：求函数y

类型Ⅳ：条件最值问题

例4、（1）已知正数x、y满足x2y1，求

x25x42的值域。

11的最小值。 xy（2）已知正数x、y满足

112，求x2y的最小值。 xy

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x、y满足xyxy3，试求xy、xy的范围。

思考变式：已知a0,b0，且满足2baba30，求函数y

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1的最小值。 ab三、均值不等式易错例析： 例1. 求函数yx4x9的最值。

xx4x9x213x36363613x132x25 错解：yxxxx 当且仅当x正解：

例2. 当x0时，求y4x36即x6时取等号。所以当x6时，y的最小值为25，此函数没有最大值。 x9的最小值。 x2错解：因为x0，y4x99624x 22xxx39692318。 所以当且仅当4x2即x时，yminxx4正解：

例3. 求yx25x42(xR)的最小值。

错解：因为y正解：

x25x42x241x422x241x422，所以ymin2

例4.已知x,yR且

141，求uxy的最小值. xy错解：1正解：

144xy4 ,uxy2xy8,u的最小值为8. xyxy- 3 -

综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 五、其他类型：

例1、已知正数x、y满足3x2y10，求w3x2y的最值。

变式: 求函数y2x152x(1x5)的最大值。

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例2、均值不等式与恒成立问题 已知x0,y0且

例3、证明不等式

（1）已知a,b,c都是正实数且abc1，求证：1a1b1c8abc

（2）已知a,b,c都是正实数且abc1，求证：

191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 xy1119 abc - 4 -