第22讲 全等三角形
1. (2014，河北)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求∠ACE的度数；
(3)求证：四边形ABFE是菱形．
第1题图
【思路分析】 (1)根据旋转的性质得出∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．(2)根据AC＝AE，得出∠ACE＝∠AEC，即可求得．(3)根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证．
(1)证明：∵△ADE是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到的， ∴∠BAD＝∠CAE＝100°. ∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE. 在△ABD和△ACE中，
AB＝AC，
∠BAD＝∠CAE， AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)解：∵∠CAE＝100°，AC＝AE， 1
∴∠ACE＝∠AEC＝(180°－∠CAE)＝40°.
2
(3)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°. ∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝140°，
∴∠BFE＝360°－∠BAE－∠ABD－∠AEC＝140°. ∴∠BAE＝∠BFE.
∴四边形ABFE是平行四边形． ∵AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形． 2. (2016，河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
第2题图
【思路分析】 (1)由BF＝EC，得BC＝EF，根据“SSS”证得全等．(2)由全等三角形的对应角相等得∠ABC＝∠DEF，∠ACF＝∠DFE，根据“内错角相等，两直线平行”得平行线段．
(1)证明：∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF. ∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC ≌△DEF.
(2)解：AB∥DE，AC∥DF.
理由：由(1)知△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF，∠ACF＝∠DFE. ∴AB∥DE，AC∥DF. 3. (2018，河北)如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(B)
第3题图
A. 作∠APB的平分线PC交AB于点C B. 过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC C. 取AB的中点C，连接PC D. 过点P作PC⊥AB，垂足为C
【解析】 A. 利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意．B. 过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意．C. 利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意．D. 利用HL判断出Rt△PCA≌Rt△PCB，∴CA＝CB.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意．
全等三角形的性质与判定
例1 如图，从下列四个条件①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CA＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则可以构成正确结论的最多有(B)
例1题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】 当①②③为条件，④为结论时，∵∠A′CA＝∠B′CB，∴∠A′CB′＝∠ACB.∵BC＝B′C，AC＝A′C，∴△A′CB′≌△ACB.∴AB＝A′B′.当①②④为条件，③为结论时，∵BC＝B′C，AC＝A′C，AB＝A′B′，∴△ACB≌△A′CB′.∴∠A′CB′＝∠ACB.∴∠A′CA＝∠B′CB.
针对训练1 (2018，唐山路南区模拟)下列结论错误的是(B) A. 全等三角形对应边上的中线相等
B. 两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等 C. 全等三角形对应边上的高相等
D. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等
【解析】 A. 如答图①.∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF.∵AM是△ABCAB＝DE，
的中线，DN是△DEF的中线，∴BC＝2BM，EF＝2EN.∴BM＝EN.在△ABM和△DEN中，∠B＝∠E，
BM＝EN，
∴△ABM≌△DEN(SAS)．∴AM＝DN.故本选项正确．B. 如教师用的含30°角的三角板和学生用
的含30°角的三角板就不全等，故本选项错误．C.如答图②. ∵△A′B′C′≌△D′E′F′，∴A′B′＝D′E′，∠B′＝∠E′.∵A′M′是△A′B′C′的高，D′N′是△D′E′F′的高，∴∠A′M′B′＝∠D′N′E′＝90°.在△A′B′M′和△D′E′N′中，∠B′＝∠E′，
∠A′M′B′＝∠D′N′E′， A′B′＝D′E′，
∴△A′B′M′≌△D′E′N′.∴A′M′＝D′N′.故本选项正确．D. 根据AAS可推出两个直角三角形全等．故本选项正确．
训练1答图
图形变化中的全等三角形
例2 (2018，唐山丰南区二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.若∠DAB的平分线AE交CD于点E，连接BE，且BE平分∠ABC，则以下结论不正确的有(B)
1
①BC＋AD＝AB；②E为CD的中点；③∠AEB＝90°；④S△ABE＝S四边形ABCD；⑤BC＝CE.
2
例2题图
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【解析】 ∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵AE，BE分别是∠BAD和∠ABC的平分线，111
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC.∴∠BAE＋∠ABE＝(∠BAD＋∠ABC)＝90°.∴∠AEB＝
222
180°－(∠BAE＋∠ABE)＝180°－90°＝90°.故③正确．如答图，延长AE交BC的延长线于点F.∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE.在△ABE和△FBE中，∠ABE＝∠FBE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)．∴AB＝BF，AE＝FE.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠F.BE＝BE，
∠AEB＝∠FEB＝90°，
∠EAD＝∠F，
在△ADE和△FCE中，AE＝FE，∴△ADE≌
∠AED＝∠FEC，
△FCE(ASA)．∴AD＝CF.∴AB＝BC＋CF＝BC＋AD.故①正确．∵△ADE≌△FCE，∴CE＝DE，即E1
为CD的中点．故②正确．∵△ADE≌△FCE，∴S△ADE＝S△FCE.∴S四边形ABCD＝S△ABF.∵S△ABE＝S△ABF，
21
∴S△ABE＝S2
四边形ABCD.故④正确．若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE.∵AD与BC不一定相等，∴BC与CE不一定相等．故⑤错误．综上所述，不正确的结论有1个．
例2答图
针对训练2 (2018，石家庄43中模拟)如图，在Rt△ABC中有一个正方形BDEF，点E正好落在直角三角形的斜边AC上．已知AE＝8 cm，EC＝10 cm，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
训练2题图
【思路分析】 由于四边形BDEF是正方形，因此EF＝ED，∠DEF＝90°.将△AFE绕点E逆时针旋转90°得到△GDE，与△EDC组成一个直角三角形，则两直角边长分别是10 cm， 8 cm，由此可求出阴影部分的面积．
解：如答图．将△AFE绕点E逆时针旋转90°得到△GDE，与△EDC组成一个直角三角形，则两直角边长分别是10 cm，8 cm， 12
所以阴影部分的面积是×10×8＝40(cm)．
2
训练2答图
一、 选择题 1. (2018，安顺)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O.已知AB＝AC，现添加下面的条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是(D)
第1题图
A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. BD＝CE D. BE＝CD 【解析】 AB＝AC，∠A为公共角．A. 如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD.B. 如添加AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD.C. 如添加BD＝CE，可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD.D. 如添加BE＝CD，因为SSA不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
2. (2018，黔西南州)下列各图中a，b，c为三角形的三边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)
第2题图
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙 【解析】 在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等．在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等．不能判定甲与△ABC全等．
3. (2018，石家庄新华区二模)三个全等三角形按如图所示的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是(D)
第3题图
A. 90° B. 120° C. 135° D. 180°
【解析】 如答图．由图形，可得∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋∠3＋∠9＋∠7＝ 540°.∵三个三角形全等，∴∠4＋∠9＋∠6＝180°.∵∠5＋∠7＋∠8＝180°，∴∠1＋∠2
＋∠3＋180°＋180°＝540°.∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.
第3题答图
4. (2018，南京，导学号5892921)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)
第4题图
A. a＋c B. b＋c C. a－b＋c D. a＋b－c 【解析】 ∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°.∴∠A＝∠C.∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b.∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋(b－c)＝a＋b－c.
5. (2018，临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是(B)
第5题图
3
A. B. 2 C. 22 D. 10 2
【解析】 ∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠BCE＋∠E＝∠ADC，
∠DCA＝90°，∴∠EBC＝∠DCA.在△CEB和△ADC中，∠EBC＝∠DCA，∴△CEB≌
BC＝AC，
△ADC(AAS)．∴DC＝BE＝1，CE＝AD＝3.∴DE＝CE－CD＝3－1＝2.
6. (2018，龙东，导学号5892921)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为(B)
第6题图
A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 【解析】 如答图，过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E.∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠D
＋∠ABC＝180°＝∠ABE＋∠ABC.∴∠D＝∠ABE.∵∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠EAB.∵AD＝AB，∴△ACD≌△AEB.∴AC＝AE，即△ACE是等腰直角三角形．∴四边形ABCD的面1
积与△ACE的面积相等．∵S△ACE＝×5×5＝12.5，∴四边形ABCD的面积为12.5.
2
第6题答图
7. (2018，石家庄裕华区一模)有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(C)
A B C D
【解析】 A. 由SAS证得两个小三角形全等，故本选项不符合题意．B. 由SAS证得两个小三角形全等，故本选项不符合题意．C. 如答图①.∵∠DEC＝∠B＋∠BDE，∴x°＋∠FEC＝x°＋∠BDE.∴∠FEC＝∠BDE.所以其对应边应该是BE和CF.而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等．故本选项符合题意．D. 如答图②.∵∠D′E′C＝∠B＋∠BD′E′，∴x°＋∠F′E′C＝x°＋∠BD′E′.∴∠F′E′C＝∠BD′E′.∵BD′＝CE′＝2，∠B＝∠C，∴△BD′E′≌△CE′F′.所以能判定两个小三角形全等．故本选项不符合题意．
第7题答图
二、 填空题
8. (2018，金华)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC＝BC.
第8题图
【解析】 添加AC＝BC.∵AD，BE为△ABC的两条高，∴∠ADC＝∠BEC＝90°.在△ADC和∠ADC＝∠BEC，
△BEC中，∠C＝∠C，∴△ADC≌△BEC(AAS)．
AC＝BC，
9. (2018，衢州)如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB＝ED.(只需写一个，不添加辅助线)
第9题图
【解析】 添加AB＝ED.∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.
AB＝ED，
在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF(SAS)．
BC＝EF，
三、 解答题
10. (2018，苏州)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：BC∥EF.
第10题图
【思路分析】 由SAS判定△ABC≌△DEF，则∠ACB＝∠DFE，由此证得结论． 证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D. ∵AF＝DC， ∴AC＝DF.
AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF(SAS)．
AC＝DF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴BC∥EF.
11. 如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB，连接AB，AB与OP交于点E.
(1)求证：△OPA≌△OPB； (2)若AB＝6，求AE的长．
第11题图
【思路分析】 (1)依据PA⊥OM，PB⊥ON，可得∠PAO＝∠PBO＝90°，再根据PA＝PB，PO＝PO，即可得到Rt△OPA≌Rt△OPB.(2)依据∠APE＝∠BPE，PA＝PB，即可得到AE＝BE，进而
1
得出AE＝AB＝3.
2
(1)证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∵PA＝PB，PO＝PO， ∴Rt△OPA≌Rt△OPB. (2)解：∵△OPA≌△OPB， ∴∠APE＝∠BPE. ∵PA＝PB， ∴AE＝BE. 1
∴AE＝AB＝3.
2
12. (2018，保定一模)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝ 90°，点E在BC边上． (1)求证：△ACD≌△ABE；
(2)若∠CDE＝60°，求∠AEB的度数．
第12题图
【思路分析】 (1)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．(2)利用全等三角形的性质解答即可．
(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC－∠CAE＝∠DAE－∠CAE，即∠EAB＝∠DAC.
AD＝AE，
在△ACD和△ABE中，∠DAC＝∠EAB，∴△ACD≌△ABE(SAS)．
AC＝AB，
(2)解：∵△ACD≌△ABE，∴∠ADC＝∠AEB.
∴∠AEB＝∠ADE＋∠CDE＝45°＋60°＝105°.
1. (2018，东营，导学号5892921)如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC的内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC.给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；
2222
③BD⊥CE；④BE＝2(AD＋AB)－CD.其中正确的是(A)
第1题图
A. ①②③④ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④
【解析】 ∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC.∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC.∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA.故①正确．∴∠ABD＋∠ECB＝∠ECA＋∠ECB＝∠ACB＝45°.故②正确．∵∠ECB＋∠EBC＝∠ABD＋∠ECB＋∠ABC＝45°＋45°＝
90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD.故③正确．∴BE＝BC－EC＝2AB－(CD－DE)＝2AB－CD2222
＋2AD＝2(AD＋AB)－CD.故④正确．
2. (2018，绍兴)在等腰三角形ABC中，顶角∠A为40°，点P在以点A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为30°或110°.
【解析】 本题分两种情况．(1)如答图①，当点P在直线AB的右侧时，连接AP.∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°.∵AB＝AB，AC＝PB，BC＝PA，∴△ABC≌△BAP.∴∠ABP＝∠BAC＝40°.∴∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°.(2)如答图②，当点P在直线AB的左侧时，同(1)中的方法可得∠ABP＝40°.∴∠PBC＝40°＋70°＝110°.综上所述，∠PBC的度数为30°或110°.
22222222
第2题答图
3. (2018，深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是 8 .
第3题图
【解析】 ∵四边形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠CAF＝90°.∴∠EAC＋∠FAB＝
90°.∵∠ABF＝90°，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∴∠EAC＝∠AFB.在△CAE和△AFB中，∠CAE＝∠AFB，1
∠AEC＝∠FBA，∴△CAE≌△AFB.∴EC＝AB＝4.∴阴影部分的面积为AB·CE＝8.
2
AC＝AF，
4. (2018，龙东，导学号5892921)如图，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，点A在CB的延长线上，且BA＝BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.
(1)当点E在线段BD上移动时，如图①所示，求证：BC－DE＝
2
DF； 2
(2)当点E在直线BD上移动时，如图②③所示，线段BC，DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
第4题图
【思路分析】 (1)在BA上截取BH＝BE.构造全等三角形即可解决问题．(2)在题图②上的
BC上截取BH＝BE，同(1)法可证DF＝EH.可得DE－BC＝
得BH＝BE.同(1)法可证DF＝HE，可得BC＋DE＝
2
DF.在题图③上的BA上截取BH，使2
2
DF. 2
(1)证明：如答图①，在BA上截取BH＝BE，连接HE. ∵AB＝BC＝BD，BE＝BH， ∴AH＝ED.
∵∠AEF＝∠ABE＝90°，
∴∠AEB＋∠FED＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°. ∴∠FED＝∠HAE.
∵∠BHE＝∠CDB＝45°， ∴∠AHE＝∠EDF＝135°. ∴△AHE≌△EDF. ∴HE＝DF.
22
EH＝DF. 22
(2)解：如答图②，在BC上截取BH＝BE，连接HE. 同法可证DF＝EH. ∴BC－DE＝BD－DE＝BE＝
2
DF. 2
如答图③，在BA上截取BH，使得BH＝BE，连接HE. 同法可证DF＝HE. 可得DE－BC＝可得BC＋DE＝
2
DF. 2
第4题答图
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