中考数学-动点最值基本模型

一、最值类型

1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。（本公众号有“【解题模型】将军饮马”）

2.小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。

3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。（本公众号有“一箭穿心，圆来如此一文”）

4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。

5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大（小）值。

6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如蜀山二模第10题】等

※二、分类例析

一、饮马型

例1：如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，CE=3, DE=1, 点P在AC上，则PE+PD的最小值是_____ .

解析：如图

例

2：如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为____.

解析：如下图

二、小垂型

例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________.

解析：如下图

三、穿心型 例4：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是____.

解析：如下图

四、转

换型

例5:如

图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C=60°，CD=4，则的最小值为____________

解析：因为P到A、B两点的距离相等，所以P 在AB的垂直平分线上，又因菱形ABCD中∠C为60°，所以△ABD为等边三角形，AB的垂直平分线经过点D,如下图

由∠ADP=30度，可将PD的一半进行转换，即过点P作AD的垂线。如图， 即B、P、F三点共线，且BF⊥AD时最短

五、三边型

例6：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________

解析：如下图因为AB为定长，所以取其中点E，则OE为定值，在△ODE中，DE为定值，OE为定值，根据三角形三边关系即可得到OD的最大值。

例7：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，点D在AC上，且AD=6，将线段AD绕点A旋转至AD’，F为BD’的中点，连结CF，则线段CF的取值范围.

解析：

解法一：瓜豆原理，点F的轨迹为圆，一箭穿心便可以求出其取值范围。

解法二：如下图，取AB的中点M，连接FM,CM，由斜边上的中线等于斜边的一半得CM为定值，由三角形中位线得FM为定值，所以在△CFM中，三边关系可得到CF的取值范

围.

【练习1】如图，已知圆O的半径为13，弦AB长为24，弦CD长为10，点N为CD的中点，O到弦AB的距离为OM,则MN的最小值是________

【练习2】如图,A,B为圆O上两点，以AB边直角边作等腰直角三角形ABC，若圆O的半径为5,则OC的最小值为