高三数学调研考试试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 参考公式：

sinα+sinβ=2sin

22sinsinα-sinβ=2cos 22coscosα+cosβ=2cos 22sincosα－cosβ=-2sin 22第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.下面四个函数中，不存在反函数的函数的是 A.ｙ=-

cos

44x B.ｙ=x C.ｙ=3D.ｙ=log1x x22.设α、β为钝角且sinα=

5310,cosβ=-,则α+β的值为

510A.

35757 B.  C.  D. 或 444443.对于直线a、b和平面α、β，a∥b的一个充分条件是

A.a∥α,b∥α B.a∥α,b∥β,α∥β C.a⊥α,b⊥β,α∥β D.α⊥β,a⊥α,b∥β 4.函数f(x)=ctgwx(w＞0)图象的相邻两支截ｙ=

所得线段长为.则f()的值是 848A.0 B.-1 C.1 D. 

45.今有一组实验数据如下

t 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121 S 1.501 4.413 7.498 12.04 17.93

现准备下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是 A.S-1=2 B.S=

2

t-3

3log2t 2C.2S=t-1 D.S=-2t-2 6.已知A（0，0），B（a，b），P1是AB中点，P2是BP1中点，P3是P1P2中点，…，Pn+2是PnPn+1

中点，则Pn点的极限位置

A.(,) B.(,) C.(a,b) D.(a,b) 7.函数f(x)=x+

2

ab22ab332323343411 (x≤-)的值域是 x277332332A.(,] B. (,,) ] C.[,) D. [44228.已知|a|≠|b|,m=

abab,nabab,则m、n之间的关系是

A.m＞n B.m＜n C.m=n D.m≤n

9.如图在正三棱锥A—BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥 A—BCD的体积是 A.

22 B. 122433 D.  1224C.

10.在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，ｙ轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和ｙ轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 A.30个 B.35个 C.20个 D.15个 11.若直线ｙ=kx+1与曲线x=

y21有两个不同的交点，则k的取值范围是

A.-2k2 B.-2＜k＜-1 C.1＜k＜2 D.k＜2或k＞2

12.某厂有一批长为2.5 m的条形钢材，要截成60 cm长的A型和43 cm长的B型的两种规格的零件毛坯，则下列哪种方案最佳（所剩材料最少）

A.A型4个 B.A型2个，B型3个 C.A型1个，B型4个 D.B型5个

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）

1x2y213.椭圆221(a＞b＞0)的离心率为，F为左焦点，A为左顶点，B为上顶点，C为

2ab下顶点，直线CF与AB交于D，则tgBDC=__________.

623

14.已知（x+1）²(ax-1)的展开式中，x的系数是56，则实数a的值为______________.

15.（理）已知直线l的参数方程为x2t2 (t为参数)，若以原点为极点，x轴的正

y2t1半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为（-2，π），则点P到直线l的距离为

______________.

（文）函数ｙ=sinx-|sinx|的最小值为______________. 16.在△ABC中A＞B，下列不等式中正确的是

①sinA＞sinB;②cosA＜cosB;③sin2A＞sin2B;④cos2A＜cos2B 其中正确的序号为______________.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）

已知集合A={x|()12x2x6＜1＝,B={x|log4(x+a)＜1＝,若A∩B=，求实数a的取值范

围.

18.（本小题满分12分）

已知复数z满足(z+1)(z +1)=|z|,且

2

z1是纯虚数; z1(Ⅰ)求z; (Ⅱ)求argz.

19.（本小题满分12分）

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点， （Ⅰ）求证：CD⊥PD；

（Ⅱ）求证：EF∥平面PAD；

（Ⅲ）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD.

20.（本小题满分13分）

已知抛物线C：ｙ=-

12

x+6,点P（2，4），A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互2补；

（Ⅰ）证明：直线AB的斜率为定值；

（Ⅱ）当直线AB在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB的面积S的最大值及此时直线AB的方程.

21.（本小题满分12分）

（理）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一艘机艇以40 km/h的速度从A港出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知 最

初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式ｙ≥ax+b的点（x,ｙ）不在ｙ=ax+b的下方）.

（文）国贸城有一个个体户，2001年一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底获得．的利润是该月初投入资金的20%，每月底所缴的房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活费和其他开支为3000元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，问

12

到2001年年底，这一个体户有现款多少元？（1.08≈2.5） ．

22.（本小题满分13分）

（理）若{an}是正项递增的等差数列，n∈N,k≥2,k∈N,求证： （Ⅰ）

ak2ak1; ak1aka(n1)k1ak1ak2a2k2a3k2aank2knk2; ak1a2k1a3k1ank1a2(Ⅱ)k（文）已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{ｙn}满足ｙn²logxna=2(a＞0且

a≠1)，设ｙ3=18,ｙ6=12.

(Ⅰ)求数列{ｙn}的前多少项和最大，最大值为多少？

（Ⅱ）试判断是否存在自然数M，使当n＞M时，xn＞1恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）令an=logxnxn+1(n＞13,n∈N),试判断数列{an}的增减性？

高三数学调研

一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.C 8.D 9.B 10.A 11.B 12.B 二、13.-33 14. -1或6 15.(理)

2 (文)-2 16.①②④ 21x2x62

三、17.解：由()＜1得x-x-6＞0，解得x＞3或x＜-2

2A={x|x＞3或x＜-2} 4分

由log4(x+a)＜1得0＜x+a＜4

∴B={x|-a＜x＜4-a} 8分

∵A∩B=,∴a2 10分

4a3∴1≤a≤2 即a的取值范围是：{a|1≤a≤2} 12分 18.解：(Ⅰ)(z+1)(z +1)=|z|,∴zzzz+1=|z| ∵zz=|z| ∴z+z+1=0 3分 设z=x+ｙi(x,ｙk∈R),则z=x-ｙi

2

2

2

11,z=-+ｙi 5分 222yiz1又∵且是纯虚数 31z1yi223∴ｙ-=0且ｙ≠0 7分 4∴x=-∴ｙ=±

133 ∴z=-±i 10分

222123+i时，argz= 11分 223(Ⅱ)当z=-

当z=-

143-i时，argz= 12分

22319.(Ⅰ)证明：∵ABCD是矩形∴CD⊥AD

又∵PA⊥平面ABCD，AD是PD在平面ABCD上的射影 由三垂线定理：CD⊥PD 3分

(Ⅱ)证明：取CD中点N，连结EN、FN ∵E、F分别是AB、PC的中点 ∴FN∥PD,EN∥AD.

∵FN平面PAD，EN平面PAD

∴FN∥平面PAD，EN∥平面PAD 5分 ∵FN∩EN=N

∴平面EFN∥平面PAD ∵EF平面EFN， ∴EF∥平面PAD 7分

(Ⅲ)解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥平面PCD 8分 ∵AB∥CD

∴CD⊥AD,PD⊥CD,即∠PDA就是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角.

连结PE，EC

又∠PDA=45°∴PA=AD=BC,

又AE=EB ∴Rt△PAE≌Rt△CBE ∴PE=EC 10分 ∵F为PC的中点 ∴EF⊥PC，又FN∥PD,EN∥AD ∴CD⊥FN, ∴CD⊥EN

∴CD⊥平面EFN ∴CD⊥EF ∵CD∩PC=C，

∴EF⊥平面PCD 12分

20.解：(Ⅰ)易知点P在抛物线C上，设PA的斜率为k 则直线PA的方程是ｙ-4=k(x-2) 1分 代入ｙ=-

12

x+6中，整理得：x2+2kx-4(k+1)=0 2此时方程应有根xA及2，由韦达定理得： 2xA=-4(k+1) ∴xA=-2(k+1)

2

∴ｙA=k(xA-2)+4=-2k-4k+4 4分

2

∴A(-2(k+1),-2k-4k+4)

由于PA与PB的倾斜角互补，故PB方程的斜率为-k.

2

同理可得：B(-2(-k+1),-2k+4k+4) ∴kAB=2 6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）得∴直线AB的方程为：ｙ=2x+b,b＞0， 代入方程ｙ=-

121x+6消去ｙ得：x2+2x+b-6=0 222|AB|=2(12)[42(b6)]25(162b) 9分

S11bABd25(162b)(162b)bb225162bbb33 () 12分39此时方程为：ｙ=2x+



16 13分 321.(理)解：建立如图所示的直角坐标系，设机艇先沿OP方向前进m到P处，然后向北前进n到达Q，设∠XOP=θ，Q(x,ｙ)2分 可知xmcos,mn20 4分

ynmsin2

2

2

2

2

2

∴|AQ|=x+ｙ=m+n+2mnsinθ≤(m+n)=400 ∵机艇中途左拐

22

∴x+ｙ＜400 7分

又∵x+ｙ=m(sinθ+cosθ)+n=2sin(4)²m+n≥m+n=20

x2y2400即 10分 xy20根据题中的提示及对称性，结合上述不等式组，可得营救区域为上图所示阴影区域，但不包括圆周上的点. 12分

(文)解：设第n月月底所得现款an万元，

依题意an+1=an(1+20%)-an(1+20%)10%-0.3=1.08an-0.3 4分 化为an+1-则{an-

1515=1.08(an-) 44151515}为等比数列，其中a1=1.08³10-0.3=(10-)³1.08+ 8分

444∴a1515nn-4=(10-4)1.08

即a15n15n=(10-4)1.08+4 10分 ∴a5121512=(10-4)²1.08+4 代入1.0812

≈2.5,得a12=19.375 12分

答：到这一年年底，个体户有现款193750元. 22.解：(Ⅰ)∵ak+1=ak+1+d,ak=ak+1-d

∴ak+2²ak=a222k1dak1

又∵ak+1＞0,ak+2＞0,ak＞0 ∴

ak2ak1a 4分 k1ak(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论可得

amk2amka1amka6分 mk1amkmk1令A=

ak2a2k2ank2aa，从而有 k12k1ank1Ak＞ak2ak3a2k2a2k2ank2ank3a(n1)k1a(n1)k1ak1ak2a2ka2k1ank1ank2a(n1)kak1又Ak=(ak2)k(a2k2)k(ank2)ka3a4ak1ak2aa k12k1ank1a2a3akak1 a(n1)k2a(n1)k3ank2ank2a

(n1)k1a(n1)k2ank1a2从而ka(n1)k1aAkank2k1a 13分 2(文)(Ⅰ)ｙn=2logaxn， 设{xn}的公比为q(q≠1)

分 9∵ｙn+1-ｙn=2(logaxn+1-logaxn)=2logaxn1=2logaq xn∴{ｙn}为等差数列，设公差为d 2分 ∵ｙ3=18,ｙ6=12, ∴d=-2,

∴ｙn=ｙ3+(n-3)(-2)=24-2n 设前k项为最大，则yk1011k12 4分

yk0∴前11项和前12项和为最大，其和为1325分

12-n*

(Ⅱ)xn=a,n∈N

12-n若xn＞1，则a＞1

当a＞1时，n＜12，显然不成立 7分 当0＜a＜1时，n＞12， ∴存在M=12，13，14，…， 当n＞M时，xn＞1 9分 (Ⅲ)an=logxnxn1loga∵an1an12na12(n1)n11 10分 n12n10n1110 12分 n11n12(n11)(n12)∴an+1＜an

∴n＞13时数列{an}为递减数列 13分