高二导数讲义

高二导数讲义

Revised on November 25, 2020

导数

【知识归纳】

1、导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），

yyf(x0x)f(x0)叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即=。如果当

xxxy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的x0时，x导数，记作f’（x0）或y’|xx0。

比值

即f（x0）=limx0f(x0x)f(x0)y=lim。 x0xx说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，在点x0处不可导，或说无导数。

yy有极限。如果不存在极限，就说函数

xx（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）； （2）求平均变化率

yf(x0x)f(x0)=；

xx（3）取极限，得导数f’(x0)=lim2、导数的几何意义

y。

x0x函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f（x0）（x－x0）。 3、几种常见函数的导数:

n①C0; ②x/

nxxn1; ③(sinx)cosx; ④(cosx)sinx;

⑤(e)e;⑥(a)alna;

xxx11lnxlogxlogae. ⑦; ⑧axx'''4、两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (uv)uv.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)uvuv.

'''''若C为常数,(Cu)CuCu0CuCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

'''(Cu)'Cu'.

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：uu'vuv'（v0）。 ‘=2vv

形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X= y＇|U ·u＇|X

5、单调区间：一般地，设函数yf(x)在某个区间可导， 如果f(x)0，则f(x)为增函数； 如果f(x)0，则f(x)为减函数；

如果在某区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数； 6、极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 7、最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数(x)在(a，b)内的极值； ②求函数(x)在区间端点的值(a)、(b)；

③将函数 (x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

'''【常见综合题方法导航】

1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f(x)0得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：

第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征f(x)g(x)恒成立

'h(x)f(x)g(x)0恒成立；

2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：

''第一种：转化为恒成立问题即f(x)0或f(x)0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；

用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；

第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 3、函数的切线问题；

问题1：在点处的切线，易求；

问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；

第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；

经典题型分类解析 【导数定义的应用】

2例1、求抛物线 yx上的点到直线xy20的最短距离.

1、（福建）已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，

f(x)0，g(x)0，则x0时（ ）

A．f(x)0，g(x)0 C．f(x)0，g(x)0

B．f(x)0，g(x)0 D．f(x)0，g(x)0

222、已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线yx上的两点，则与直线PQ平行的曲线yx的切

线方程是 _____________.

3、已知函数f(x)x3ax2bxc在x2处取得极值，并且它的图象与直线y3x3在点

（1，0）处相切，则函数f(x)的表达式为 __ __m.

2

【利用导数研究函数的图像】

例1、（安徽高考）设a＜b,函数y(xa)2(xb)的图像可能是（ ）

1、设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 。

y y y 【利用导数解决函数的单调性及极值问题】 x例1、当 x0，证明不等式ln(1x)x. 1xO O O x x x 例2、（全国高考）已知函数f(x)x3ax2x1，aR． y O 图

x 图图

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

图

21内是减函数，求a的取值范围． （Ⅱ）设函数f(x)在区间，33【变式1】（ 全国高考）若函数fx1312xaxa1x1在区间1,4上是减函数，在32区间6,上是增函数，求实数a的取值范围．

【变式2】（ 浙江高考）已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb (a,bR)．若函数

，求a的取值范围． f(x)在区间(1,1)上不单调．．．练习

1、利用函数的单调性，证明：lnxxex,x0

1lnx1x，x1 x1变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

12、已知函数f(x)x3bx22xa，x2是f(x)的一个极值点．

32（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）若当x[1, 3]时，f(x)a2恒成立，求a的取值

3范围．

变式1：证明：13、设函数f(x)ln(xa)x2,若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性.

4、设a≥0，f(x)x1ln2x2alnx(x0)．

（Ⅰ）令F(x)xf(x)，讨论F(x)在(0，∞)内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1．

2x2,g(x)ax52a(a0)。 5、设f(x)x1（1）求f(x)在x[0,1]上的值域；

（2）若对于任意x1[0,1]，总存在x0[0,1],使得g(x0)f(x1)成立,求a的取值范围。

【利用导数的几何意义研究曲线的切线问题】

例1、（江西高考）若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2于 A．1或-21772525 B．1或 C．或- D．或7

44415x9都相切，则a等4【变式】（ 辽宁高考）设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜

角的取值范围为0，，则点P横坐标的取值范围为（ ）

41 A．1，2B．1，0

1，1 C．01， D．2综合实战训练

1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为( )

2. 已知曲线S:y=3x－x3及点P(2,2),则过点P可向S引切线的条数为( ) (A)0

(B)1

(C)2

(D)3

3. C设S上的切点(x0,y0)求导数得斜率，过点P可求得:(x01)(x02)20. 4. 函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）. 5. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A)6

(B)0 (C)5

(D)1

6. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A)1，－1

(B)3，-17

(C)1，－17 (D)9，－19

7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(与l2的夹角为___________.

,0)处的切线，则l128. 设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 . 9．（湖北）已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是yf(1)f(1)

1x2，则210．（湖南）函数f(x)12xx3在区间[3，3]上的最小值是

11．（浙江）曲线yx32x24x2在点(1，3)处的切线方程是 9．. 已知函数

f(x)x3ax2b(a,bR)

（Ⅰ）若函数f(x)图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：3a3； （Ⅱ）若x0,1，函数yf(x)图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论k≤1的充要条件。

12．(安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

x2x2

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 实战训练B

1．（海南）曲线ye在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

9Ａ．e2

21x2 Ｂ．4e2 Ｃ．2e2 Ｄ．e2

2．（海南）曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

9Ａ．e2

4 Ｂ．2e

2 Ｃ．e

2

e2Ｄ．

23．（江苏）已知二次函数f(x)ax2bxc的导数为f'(x)，f'(0)0，对于任意实数x都有f(x)0，则

f(1)的最小值为（ ） f'(0)A．3 B．4．（江西）5．若0x53 C．2 D． 22π，则下列命题中正确的是（ ） 23344A．sinxx B．sinxx C．sinx2x2 D．sinx2x2

πππππ5．（江西）若0x，则下列命题正确的是（ ）

2223A．sinxx B．sinxx C．sinxx

πππ3 D．sinxx

π6．（辽宁）已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x0时的函．．．

数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ） A．0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 B．0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 C．0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 D．0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值 7．（全国一）曲线y134xx在点1，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 33

1A．

9B．

2 91C．

3D．

2 3x218．（全国二）已知曲线y的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）

42A．1 B．2 C．3 D．4

10．（福建）设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)． （Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

（Ⅱ）若h(t)2tm对t(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．

15．(07广东)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a．如果函数yf(x)在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围．