高中学业水平考试数学考题分类汇编
一、集合的基本运算（并集、交集、补集）
知识点：
1、并集：由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作： A∪B 2、交集：由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作： A∩ B 3、补集：就是作差。 （注意端点是否选取） 4、集合 a1, a an 2 ,..., （ n 为元素个数）
的子集个数共有
2 个；真子集有 2 – 1 个；非空子集有 2 – 1 个；非空的真子有 2 – 2 个 .
n n n n
例题
【 2013.7 题 1】 已知全集 U = {1,2,3 } 错误！未指定书签。 ，集合 错误！未指定书签。 ，则全集 U 中 M 的补集为（
）
B.错误！ 未指定书签。
C.错误！未指定书签。
D.
A. 错误！ 未指定书签。 错误！未指定书签。
【 2014.1 题 1】 设集合 M A. N
{1,2,3} ， N {1} ，则下列关系正确的是 (
C.
)
M
B.
N M N M D. N M
【 2014.7 题 1】 已知全集 U A.
1,2,3,4,5 ，集合 M
C.
4,5 ，则 CU M
( )
5
B.
4,5 1,2,3
D.
1,2,3,4,5
【 2015.1 题 1】 已知集合 A.
A {1,3,4}, B {1,4,6} ，那么 A B （
C.{1,4}
D.
）
{2,5}
B.
{1,3,4,6} {2,3,5}
U 【 2015.7 题 1】 已知全集
A. { x | x
R，集合 A { x | x 2} ，则 CU A （
1}
C. { x | x
）
1} B. { x | x 2} D. { x | x 2}
【 2016.1 题 1】 已知集合 A.
M
0,1
0,1,2,3 ， N C.
1,3,4 ，那么 M D.
N 等于（
）
0
B.
1,3 0,1,2,3,4
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二、已知几何体的三视图求表面积，体积 知识点：
1、长方体的对角线长 l 2 2、球的体积公式：
2
v
a 4 3
2
b
2
c ；正方体的对角线长 l
3a
R3 ； 球的表面积公式： S 4
R
2
3、柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱= S h ( S 为底面积， h 为柱体高 )； V锥= 1 Sh ( S为底面h 为柱体高 )
3
1
V台= ( S ’+ S'S + S) h ( S ’, S 分别为上、下底面积， h 为台体高 )
3
例题：
【 2013.7 题 2】 有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个（ A. 棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.圆台
主视图
侧视图
(
)
俯视图
）
【 2014.1 题 2】 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是一个
A.棱台 C.棱柱
B.棱锥 D.圆柱
正视图
【 2014.7 题 2】 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是 一个圆，那么这个几何体是（ A.正方体
B.圆锥
） C.圆柱
D.半球
【 2015.1 题 2】 某几何体的正视图与侧视图边长为 （
）
1
1 的正方形，且体积为
1
1，则该几何体的俯视图可以是
1
1
1
1
1
A
B C D
）
【 2015.7 题 2】 已知某几何体的直观图如右下图，该几何体的俯视图为（
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【 2016.1 题 12】 一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的正三角形，俯视图是一个半径为 圆，那么这个几何体的体积为（
）
1 的
A.
2 3
B.
2
3
C.
3
D.
3
三、向量运算（几何法则、数量积等） 知识点： 1、 平面向量的概念：
1 在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．
2 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． 3 向量
的大小称为向量的模（或长度） ，记作
．
4 模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向5
量．
与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为
a 的相反向量，记作 a ．
6 方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数与向量的积的运算律：
设 λ 、μ 为实数，那么
(1) 结合律： λ ( μ a )=( λ μ) a ;
(2) 第一分配律： ( λ+μ ) a = λ a +μ a; (3) 第二分配律： λ ( a b )= λ a + λ b . 3、向量的数量积的运算律：
b = b · a （交换律） ; a ·
(2) （ a ）· b = = a· b = a ·（ b （ a · b ）
(1) (3) （ a b ）· c=
. a· c + b · c
） ;
4、平面向量基本定理：
如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量， 1、 有且只有一对实数 λ
2，使得 a λ 1 e+ λ 2 e． = λ 1 2
不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底 ．
5、坐标运算 ：（ 1）设 a
数与向量的积： λ a
x1 , y1 , b
x 2 , y 2 ，则 a b
x1 x 2 , y1 y 2
x1, y1
x1 , y1 ，数量积： a b
x1x2
x2
y1 y2 x1 , y2
y1 . （终点减起点）
（ 2）、设 A、 B 两点的坐标分别为（ x 1，y 1），（ x 2， y2），则 AB 6、平面两点间的距离公式： （ 1） d A ,B =| AB |
AB AB
| a |
( x2 x1) x
2
2
2
( y2 y1)
2
（ 2）向量 a 的模 | a | ： （ 3）、平面向量的数量积： （ 4）、向量 a
y ；
a b a b cos
x1 , y1 , b
cos x2 , y2 的夹角 ，则，
x1 x2 x
2
1
y1 y 2 x
2 2
y
2 1
y
2 2
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7、重要结论： （1）、两个向量平行：
a// b
a
a b
b ( x1 x2
R) ， a// b y1 y2
0
x1 y2 x2 y1 0
（ 2）、两个非零向量垂直
例题：
【 2013.7 题 3】设向量 OA (1,0), OB (1,1),错误！未指定书签。 则向量 错误！未指定书签。 OA, OB
错误！未指定书签。 的夹角为（ ）
A.错误！未指定书签。 B. 45 错误！未指定书签。
C. 错误！未指定书
签。
D.错误！未指定书签。
【 2013.7 题 4】 ABC 错误！
未指定书签。 中， M 是 BC边的中则向量 AM 错误！
未指定书签。点，
等于（ ）
A. AB
AC
B. 1
2
( AB AC )
C. AB AC
D. 1
2
( AB AC) 【 2014.1 题 3】 已知向量 OA （1，0）， OB
（1，1）则 |AB|等于 (
)
A.1
B. 2
C.2
D. 5
【 2014.7 题 3】 在平行四边形 ABCD
AC 与 BD 交于点 M ，则 AB CM （
）
中，
A. MB
B. BM
C. DB
D. BD
【 2014.7 题 7】 在
ABC 中，
M 是 BC的中点，AB AC 等于 (
)
则
A.
1
2
AM
B. AM
C. 2AM
D． MA
【 2015.1 题 3】 已知向量 AC (6,1) , CD ( 2, 3) ，则向量 AD （
）
A.
(4, 2)
B.
(8, 4) C.
( 2,4)
D.
( 8, 4)
【 2015.1 题 9】 在矩形 ABCD中， | AB
3 ， | BC | 1 ，则 | BA BC | （
）
|
A. 2
B. 3
C. 2 3
D. 4
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已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且 | a | 【 2015.7 题 3】
o
2 ， | b | 2 ，则 a b （
）
A. 2 B.
2 2
C.
2
D.
1 2
，2) ， b 【 2015.7 题 18】 已知向量 a (1(x，1) ，若 a b，则 x
.
【 2016.1 题 6】 已知向量 a =
sin , 2 , b= 1,cos
，且 a
b，则 tan 的值为（
）
A.2 B.
2
C.
1 2
D.
1 2
【 2016.1 题 15】已知 AD 是
ABC 的一条中线， 记向量 AB a b
1
C.
a，AC b，向量 AD 等于（
）
1
A.
2
a b
1
B.
2 2
a b
1
D.
2
a b
四、三角函数图像变换、周期性、单调性 知识点：
1、特殊角的三角函数值：
的角度 的弧度
0 0 0 1 0
30 6 1 2
3 2 3 3
45 4
2 2
60 3
3 2
90 2 1 0
—
2
120 2 3
3 2
135 3 4
2 2 2 2
150
5 6
180 270 3 2
360 2 0 1 0
sin
cos
1 2
3 2 3 3
0 1 0
1 0
—
2 2 1
sin
2
1 2
3 cos
1 2
3
tan
tan 1
sin cos
3
2、同角三角函数基本关系式：
1
3、诱导公式： （奇变偶不变，符号看象限） 1、 诱导公式一 ：
2
、 诱导公式二 ：
、诱导公式三 ：
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sin cos tan
2k 2k 2k
sin , cos , tan .
sin cos tan
sin , cos , tan .
sin cos tan
sin
sin , cos , tan .
cos ,
诱 导 公
4、 诱导公式四 ： 式六 ：
5 、 诱导公式五 ： 6
、
2 2
cos sin .
sin cos tan
sin , cos , tan .
sin cos
2 2
cos , sin .
4、两角和与差的正弦、余弦、正切：
S( C( T(
) ：
sin( cos(a
) sin cos ) cos cos
tan
1 tan tan tan
cos sin sin sin
S( C( T(
) ：
sin( cos(a
) sin cos ) cos cos
tan
tan
cos sin sin sin
) ： ) ：
tan( ) ：
)
) ： tan( )
1 tan tan
5、辅助角公式 ： a sin x b cos x 6、二倍角公式 ：（ 1）、 S2 ： sin 2
a
2
b sin( x
2
)
2 sin cos
cos
2
C 2 ： cos 2 T2 ： tan 2
sin
2
2
1 2 sin
2
2 cos
2
1
2 tan 1 tan
（多用于研究性质） （ 2）、降次公式（降幂升角） ：
1
sin cos sin 2
2 1 cos 2 1 1 2
sin cos 2
2 2 2 1 cos 2 1 1 2
cos cos 2
2 2 2
7、 在 y
sin , y cos , y tan , y cot 四个三角函数中只有 y cos 是偶函数，其它三个是寄
函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）
8、 在三角函数中求最值（最大值、最小值） ；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）
求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；
；
y
如：
Asin( x Acos( x A tan(
x x
) b ) b ) b ) b
再求解。
y y y
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9、三角函数的图象与性质：
函数
y=sinx y=cosx y=tanx
图象
定义域 值域 奇偶性 周期性
在 [2 k
单调性
在 [2 k
R
[ 1,1]
奇函数
R
[ 1,1]
偶函数
{ x | x k
2
, k Z}
R
奇函数
2
2 , 2k
] (k
2 3 2 ] (k
Z )
在 [ 2k
2
,2k ] ( k 上是增函数
Z )
在 [2 k ,2 k
Z) Z )
在 (k
) ( k
2 2 上是增函数 , k
Z)
上是增函数
2
, 2k
] (k
上是减函数
上是减函数
当 x
最值
2
2k , k
Z 时， ymax
1
当 x 2k , k Z 时， ymax
当 x (2 k 1) , k Z 时，
1
无
当 x
2
2k , k Z 时，
ymin
1
ymin
1
k
对称中心 ( ,0) ， k Z
2
对称轴：无
对称中心 (k ,0) ， k
对称性
对称轴： x
Z
对称中心 (k
k
2
(k Z )
,0) ， k Z 2
对称轴： x k (k Z )
10．函数 y Asin x
的图象：
（ 1）用“图象变换法”作图
由函数 y sin x 的图象通过变换得到 y 伸缩后平移” 。 法一：先平移后伸缩
A sin( x
) 的图象， 有两种主要途径 “先平移后伸缩” 与“先
y sin x y sin x
向左 (
0) 或向右 (
0)
纵坐标变为原来的
平移 | |个单位 向左 (
0) 或向右 (
0)
y y
sin( x sin( x
) )
，
A 倍
横坐标不变
y A sin( x )
平移 | |个单位
横坐标变为原来的 1 倍
纵坐标不变
（ x y sin
）
法二：先伸缩后平移
y s i nx
横坐标变为原来的 1 倍
纵坐标不变
y sin x
向左 ( 0) 或向右 (
0)
y sin( x )
平移 | |个单位
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纵坐标变为原来的 A
横坐标不变
y Asin( x )
) ）表示一个振动量时， A 就表示这个量振动
T
2
，它叫
叫
当函数 y
Asin( x
) （ A>0，
0 ， x [ 0，
时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间 做振动的周期；单位时间内往复振动的次数 f
1 2
，它叫做振动的频率；
x
叫做相位，
T
做初相（即当 x＝ 0 时的相位）。 例题：
【 2014.1 题 9】 下列函数中，以
为最小正周期的是 (
)
2
A. y sin
x 2
B. y sin x
C. y sin 2 x D． y sin 4x
【 2014.7 题 5】 为了得到函数 y
sin 1
x 的图像，只需把函数 3
y sin x 图像上所有的点的（
）A. 横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩小到原来的
1
倍，纵坐标不变 3 C. 纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变
D. 纵坐标伸长到原来的
1 倍，横坐标不变
3
【 2015.1 题 5】 要得到函数
y sin( x
3 ) 的图象，只需要将函数 y sin x的图象
）
（
A. 向左平平移
6
B. 向右平移
6 C. 向左平移
3
D. 向右平移
3
【 2016.1 题 23】 （本小题满分 6 分）
已知函数
f ( x) sin x cosx ， x R .
（ 1）求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值；
（ 2）函数
y
f ( x) 的图象可由 y sin x 的图象经过怎么的变换得到？
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五、三角函数求值
【 2013.7 题 5】 在 错误！未指定书签。 中，已知 cos A = A.错误！未指定书签。 B.错误！未指定书签。
1
2
,则（ ）
D.错误！未
C. 错误！未指定书签。
指定书签。
【 2013.7 题 16】 若 错误！未指定书签。 ，则 错误！未指定书签。 等于（ ）
A.错误！未指定书签。 - 3 5
B.错误！未指定书签。
C.错误！未指定书签。
D.错误！未指定书签。
【 2013.7 题 21】 计算： sin 45 sin15 cos 45 cos15 错误！未指定书签。 的值为
.
【 2014.1 题 20】 化简 sin( x) =
。
【 2014.7 题 13】 若 tan 3，则 cos2
（ ）
A.
4 3 C.
4 3 5
B.
5
5
D.
5
【 2014.7 题 22】 已知扇形的圆心角为
，弧长为 2 ，则该扇形的面积为 .
6 3
【 2015.1 题 3】 cos390
o
（ ）
A.
3 2 1 2
B.
2
C.
1 2
D.
2
【 2015.7 题 8】 cos 2
22.5
o
sin 2
22.5
o
（ ）
A.
2 2
B.
1 2
C.
2 2
D.
1 2 【 2015.7 题 14】 已知 为第二象限的角，
sin
3 5
，则 tan
（
）
A.
3 4 4 4
B.
3
C.
3
D.
3 4
【 2015.7 题 17】 若 f (cosx)
cos3x 那么 f (sin 70o ) 的值为（
）
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A. －
3 2
B.
3 2
C.
1 2
D.
1 2
【 2016.1 题 2】 计算 sin 75 cos15 cos75 sin15 的值等于（
2
C.
）
A.0 B.
1 2
3
D.
2
4 5
2
.
【 2016.1 题 18】 已知 是第二象限的角，且
sin ，则 sin 2 的值为
六、流程图（看图判断输出值） ，算法语言（判断输出值） 【 2013.7 题 6】 已知一个算法，其流程图如右图所示，若输入 A.错误！未指定书签。
a=3,b=4,则输出的结果是（
x=6 x=x+10 PRINT x
(
)
END
）
7 2
B.6 C.7 D.12
【 2013.7 题 18】 运行如图的程序， x 输出值是
【 2014.1 题 6】 已知一个算法，其流程图右图，则输出的结果是
A.10
B.11
C.8
D.9
【 2014.7 题 6】 已知一个算法的流程图如图所示，则输出的结果是 A.2
B.5
C.25
D.26
）
【 2015.1 题 6】 已知一个算法的流程图如右图所示，则输出的结果是（ A．3
B. 11
C. 43
D.171
开始
开始
1 2
x=0
a=1
a=
x=x+1
否
x>9?
是 输出 x
否
a =a+1
否
2
a=4a-1
a >20?
是
输出 a
a>40?
是
a 输出
结束
2014 年 1 月题
结束
2014 年 7 月题 6
2015 年 1月题
【 2015.7 题 13】 一个算法的程序框图如图 输出的 y 值为（ A. － 2 C. －5
） B. 1 D. 3
2，当输入的 x 的值为－ 2 时，
开始 输 入 x
是
否
输 出 y
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结束
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如图 2
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【 2016.1 题 20】 .运行右图的程序，则输出
a 的值是
.
七 . 直线方程，倾斜角，斜率，直线的位置关系 1、斜率： k
tan ， k
( ,
) ；直线上两点 P1 y2 1 ( x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) ，则斜率为 k=
yx1 x2
2、直线的五种方程 （没有特殊要求，所有直线方程都要化简为一般式）
：
（ 1）点斜式 y y0 k( x x0 ) ( 直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ，且斜率为 k ) ．
（ 2）斜截式 y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ). （ 3）两点式
y y1 x x1 yP1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ； ( x1
x2 ) 、 ( y1
y2 )).
2 y( ( 1 x2 x1
(4) 截距式 x y a b
1( a、b 分别为直线的横、纵截距，
a、 b 0 )
（ 5）一般式 Ax By C
0 ( 其中 A、
B不同时为 0). 3、两条直线的平行、重合和垂直： (1) 若 l1 : y
k1 x b1 ， l2 : y k2 x b2
① l1 ‖ l2 k1 k2 且b1 ≠
② l1与 l2 重合
b2 ; b2 ； ③ 时l 1 l2
kk1 k2 且 b1
1k2
1 .
(2) 若 l1 : A1x B1 y C1
0 , l 2 : A2x B 2 y C2
0 , 将直线方程化成（ 1），再进行判断
4、两点 P1（ x 1， y 1）、 P2（ x 2， y 2）的距离公式 │ P1P2│ =
( x2
x1 )
2
( y2
2 y1 )
5、两点 P1（ x 1， y 1）、 P2（ x 2， y 2）的中点坐标公式 M（
x1
x2 ， y1 y2 ）
2
2 6、点 P（ xAx+By+C=0的距离公d=
0
0
， y0
）到直线 （直线方程必须化为 一般式 ）
AxBy0
C
式
A2 B
2
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1=0、 2=0 的距离公式 d= 7、平行直线 Ax+By+CAx+By+CC C1 2 A
2
B
2
8、 圆的方程：标准方程 一般方程 x
2
x a
2
y b
2
b ，半径为 r ； r ，圆心 a,
D 2 )
2
2
2
D E 为圆心，半径为 1
2 2 D E 4F 0 时，表示一个以 ( 2 , 2 ) 2 9、点与圆的位置关系：
点 P(x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 若 d
y
2
Dx Ey F 0 ，（配方： ( x
( y
E
)
2
D
2
2
E
2
2
4 F ） 4 F 的圆；
4
D
E
( y b)
2
2
r 的位置关系有三种：
2
(a x0 )
2
(b y0 ) ，则
r
点 P 在圆上 ; d
d r
点 P 在圆外 ; d r 点 P 在圆内 .
10、直线与圆的位置关系：
直线 Ax By C
d d
r r
相离 相交
0 与圆 (x a) ( y b)
相切 0 ; d r 0 .
22
r 的位置关系有三种 : 0 ;
.
2
（其中 d 为圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式计算）
11、 弦长公式：
若直线 y=kx+b 与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于
二次曲线方程
y=kx+m
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：
ax +bx+c=0(a≠0)
2
A(x1， y1)， B（ x2 ，y2）两点，则由
AB = (x2
=
2
x1 )
2
( y2 y1 )
2
1 k x1 x2
1 k
2
= （1
k2）（x1
1 k
2
x2） 4x1 x2
y2 )
2
2
= 1
y1 y2
(1
) ( y1
4y1 y2
步骤：（ 1）联立直线方程和圆锥曲线方程
（ 2）消去 x 或 y, 得到关于 y 或 x 的一元二次方程 （ 3）利用韦达定理求解 例题：
【 2013.7 题 7】 直线 x+y+1=0 的倾斜角是（ A.-1 签。
B.错误！未指定书签。
C.
）
错误！未指定书签。
D.
3 4
错误！未指定书
4 4
【 2013.7 题 12】 斜率为 -2，在 y 轴的截距为 3 的直线方程是（ A.2 x+y+3=0
B.2 x-y+3=0
C.2 x-y-3=0
D.2 x+y-3=0
）
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【 2014.1 题 12】 直线 2x y 1 0 与直线 y 1 2( x 1) 的位置关系是 ( A.平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D.重合
)
【 2014.1 题 19】 直线 x y 1 0 的纵截距是
。
【 2014.7 题 7】 直线 l 过点 3,2 且斜率为 A. x 4 y 11 0
B. 4 x
4 ，则直线 l 的方程为（
C. x 4 y 5 ）
y 14 0 0 D． 4x y 10 0
【 2015.1 题 14】 下列直线方程中，不是圆 A.
x
2
y
2
5 的切线方程的是（
C.
）
D.
x 2 y 3 0
B.
2x y 5 0 2x y 5 0 x 2 y 5 0
【 2016.1 题 8】已知直线 m、n 和平面 A.平行
B.垂直
满足 m / / C.相交
，n
，则 m 和 n 的位置关系一定是 （ D.异面
）
【 2016.1 题 9】 经过点 B(3,0) ，且与直线 A.
2x y 5 0 垂直的直线的方程是（
C.
）
2x y 6 0
B.
x 2y 3 0 x 2 y 3 0
D.
x 2 y 3 0
八、圆的方程求解、直线与圆
【 2013.7 题 17】 已知直线 l 过点 P（4,3），圆 C： 错误！未指定书签。 ，则直线 l 与圆的位置关系 是（
）
B.相切
C.相交或相切
2
A.相交 D.相离
1) ，圆 C: x【 2014.1 题 17】 已知直线 l 过点 P( 3，
A.相交
B. 相切
C.相交或相切
2
y
2
4 ，则直线 l 与圆 C 的位置关系是 (
)
D.相离
【 2014.7 题 12】 直线 x
y 0 被圆 x
C.
y
2
1 截得的弦长为（
D.
）
A.
2
B.
1
1与
圆
4
y
2
2
.
【 2014.7 题 19】 直线 l ： x
x
2
2 y 0 的位置关系是
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【 2015.1 题 25】 已知圆 C : x
2
y
2
4 x 2 y a 0 ，直线 l : x y 3 0 ，点 O 为坐标原点。
（ 1）求过圆 C 的圆心且与直线
l 垂直的直线 m 的方程；
（ 2）若直线 l 与圆 C 相交于 M 、N 两点，且 OM ON ，求实数 a 的值。（7 分）
【 2015.7 题 5】 已知圆 x 2
y
2
2 x 3 0 的圆心坐标及半径分别为（
）
A. ( 1，0)与 3
B. (1，0)与 3 C.
(1，0)与 2
D.
( 1，
0)与 2 【 2016.1 题 21】 圆心为点
1,0
，且过点
1, 1
的圆的方程为
.
【 2015.7 题 26】（本小题满分 9 分）
已知圆 x
2
y
2
5 与直线 2x y m 0 相交于不同的 A、B 两点， O 为坐标原点。
（ 1）求 m 的取值范围； （ 2）若 OA
OB ，求实数 m 的值。
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九、概率（几何概型）
随机事件： 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母
随机事件的 概率 ：在大量重复进行同一试验时 , 事件 A 发生的频率
A）。由定义可知 0≤ P（ A）≤ 这时就把这个常数叫做事件 A 的概率 , 记作 P（ 1，显然必然事件的概率是
1，不可能事件的概率是 0。
1、事件间的关系： （ 1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件； （ 2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（ 3）包含：事件 A 发生时事件 B 一定发生，称事件 A 包含于事件 B（或事件 B 包含事件 A）； （ 4）对立一定互斥，互斥不一定对立。 2、 概率的加法公式 ： （ 1）当 A和 B 互斥时，事=P（ +P（ （ 、 A+B 的概率满足加法公式： P（ A+B） A） B）AB 互斥） 件（ 2）若事件 A 与 B 为对立事件，则 A∪ B 为必然事件，所以 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1 ，于是有 P(A)=1 — P(B) ． 3、古典概型： （ 1）正确理解古典概型的两大特点： 出现的可能性相等； （ 2）掌握古典概型的概率计算公式：
1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
事件 A包含的基本事件个
数 实验中基本事件的总数
A,B,C 表示 .
总接近于某个常数， 在它附近摆动，
2）每个基本事件
( A ) P
m n
4、几何概型：
（ 1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型。 （ 2）几何概型的特点： 1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 的可能性相等．
（ 3）几何概型的概率公式： 例题：
【 2013.7 题 8】在如图以 O 为中心的正六边形上随机投一粒黄豆，则这粒黄豆落到阴影部分的概率 为（ A.
）
错误！ 未指定书签。
B.
2）每个基本事件出现
P( A)
事件 A构成的区域的长度（面积或体积） 实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）
1 6
1 3
错误！ 未指定书签。 C.错误！ 未指定书签。
1 2
D.错误！
未指定书签。
2 3
【 2014.1 题 8】如图 ，在边长为 2 的正方形内有一内切圆，现从正方形内取一点 的概率为 (
)
P，则点 P 在圆内
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A.
4 4
B.
4
C.
4
D.
【 2015.1 题 11】 如图在 豆子在
A.
ABC
中
D 是 AB 边上的点，且
）
AD
1 3
AB ，连结 CD，
C
现 随 机 丢 一 粒
ABC 内，则它落在阴影部分的概率是（
B.
1 4
1 3
C.
1 2
D.
2 3
A
D
B
【 2015.7 题 15】 如图 3，在半径为 1 的圆中有封闭曲线围成的阴影区域，若在圆中随机撒一粒豆子， 它落在阴影区域内的概率为
1 ，则阴影区域的面积为（
4
C.
）
A.
3 4
B.
1 4
1 4
D.
3 4
【 2016.1 题 11】 如图，向圆内随机掷一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则豆子恰好落在圆的内 接正方形中的概率是
3
A.
B.
2
4
C.
D.
5
）
C.错误！未指定书签。
十、概率（古典概型）
【 2013.7 题 11】 先后抛掷一枚质地均匀的硬币，则两次均正面向上的概率为（ A.错误！未指定书签。 D.1
【 2014.1 题 11】 同时抛投两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率为 A.
(
)
1 4
B.错误！未指定书签。
1 4
B.
1 2
C.
3 4
D. 1
【 2014.7 题 8】 已知两同心圆的半径之比为
A.
1 : 2，若在大圆内任取一点 P ,则点 P 在小圆内的概率为（
1 4
D.
）
1 2
B.
1 3
C.
1 8
【 2014.7 题 11】 三个函数： 的函数式偶函数的概率为（ A.
y cosx 、 y sin x 、 y tan x，从中随机抽出一个函数，则抽出
）
1 3
B. 0 C.
2 3
D.
1
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【 2014.7 题 21】 一个口袋中装有大小相同、质地均匀的两个红球和两个白球，从中任意取出两个， 则这两个球颜色相同的概率是
.
）
【 2015.1 题 8】 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现的点数为偶数的概率是（
A. 1
B.
1 2
.
C.
1 3
D.
1 6
2 人中一定含有
有甲、乙、丙、丁 4 个同学，从中任选 2 个同学参加某项活动，则所选 【 2015.7 题 21】 甲的概率为
【 2016.1 题 3】 同时掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚出现正面的概率是（ ）
A.1 B.
3 4
C.
1 2
D.
1 4
十一、茎叶图与样本数据特征
【 2013.7 题 20】 如图是运动员在某个赛季得分的茎叶图， 则该运动员的平均分为
.
1
2 3 2 5
2 3 5 6 1
【 2014.1 题 4】 如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶统计图，则该运动员得分的中位数是
A.2 C.22
B.3 D.23
1 2 3
2 5 2 3 5 6 1
( )
（第 4 题）
【 2014.7 题 16】 已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（ A.27.5 C. 27
B. 28.5 D. 28
）
【 2015.1 题 7】 样本数据： 2， 4，6， 8， 10 的标准差为（ A. 40
B. 8
C.
）
2 10
。
D. 2 2
６ ７ ８
８
３ ７ ５ ２ ８ ２
【 2015.1 题 21】 已知某个样本数据的茎叶图如右图， 则该样本数据的平均数是
【 2015.7 题 7】 .如图 1 是某校举行歌唱比赛时，七位评委为某位选手打 出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的 中位数和平均数依次为（ A. 87， 86
B. 83， 85
）
C. 88， 85
D. 82， 86
7 8 9
8
2 3 7 8
0
3
图 1
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【 2016.1 题 13】有一个容量为 100 的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直 方图得，样本数据落在区间 A.9 C.27
B.18 D.38
10,12 内的频率数是（
）
十二 . 抽样方法（分层抽样）
【 2014.1 题 18】某 工厂生产 A、 B、 C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 方法抽出一个容量为 n 的样本，其中 A 种型号产品有 16 件，那么此样本的容量
2:3:5 ，现用分层抽样的 n=
。
【 2014.7 题 18】某校有老师 200 名，男生 1200 敏，女生 1000 敏，现用分层抽样的方法从所有师 生中抽取一个容量为 240 的样本，则从男生中抽取的人数为
.
现采用分层抽样的 【 2015.1 题 19】某校学生高一年级有 600 人，高二年级有 400 人，高三年级有 200 人， 方法从这三个年级中抽学生
人，则从高二年级抽取学生人数为
人。
）
【 2015.7 题 11】某大学有 A、B、C 三个不同的校区，其中 2000 人，采用按校区分层抽样的方法，从中抽取 A. 400 人、 300 人、 200 人 C. 250 人、 300 人、 350 人
A 校区有 4000 人， B 校区有 3000 人， C 校区有
900 人参加一项活动，则 A、 B、 C校区分别抽取
B. 350 人、 300 人、 250 人 （ D. 200 人、 300 人、 400 人
【 2016.1 题 7】 某校有男生 450 人，女生 500 人，现用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量 为 95 的样本，则抽出的男生人数是（ A. 45
B. 50
） C.55
D.60
十三、函数的零点（判断零点所在区间）
知识点：函数的零点就是方程的根，也就是函数图象与 例题：
【 2013.7 题 13】 函数 f ( x) = x - 1 的零点是（
A.0
B.1
C.(0 ，0)
）
D. (1， 0)
x 轴交点的横坐标
【 2014.1 题 5】 函数 y
A.0
B.
x 1 的零点是 (
)
D． ( 1,0)
）
1
2
x
C. (0,0 )
【 2014.7 题 9】 函数 f (x) A. (0,1)
B. (1,2)
3x 6 的零点所在的区间是（
C. (2,3)
D． ( 1,0)
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【 2015.1 题 13】 若函数 f (x) x
2
2 x 3a 存在零点，则实数 a 的取值范围是（
）
A.
(
1
，) 3 1
B. ( ， )
3
x
2
C. (
1 ， ] 3 1
D. [ ， )
3
）
【 2015.7 题 16】如果二次函数 f ( x) A.
mx m 3 有两个不同零点， 那么实数 m 的取值范围是 （
( ， 2) (6， )
B.
( 2，6)
C.
(2，6)
）
D.
6] [ 2，
【 2016.1 题 16】 函数 A.
f ( x) ln x 1 的零点所在的区间为（
B.
2,3 3,4
C.
0,1
D.
1,2
十四、正弦定理，余弦定理及推论的应用 知识点：
1、三角形的面积公式：
S
1 1 bcsin A： absin C acsin B 2 2 2 1
2、正弦定理：
a b c
sin A sin B sin C
3、边化角 sin A
2R,
（ R 为外接圆的半径）
a
2 R 2R 2 R
Rsin B c 2Rsin C 4、角化边 a 2 Rsin A b 2
a
5、余弦定理：
2 2
sin B
b
sin C
c
b c a c a
2 2
2 2 2
2bc cosA 2ac cosB
b c
2
b 2abcosC
2
6、求 角 ：
cos A
b
2
c
2
a
2
2bc
cos B
a
2
c
2
b
2
2 ac
cos C
a
2
b
2
c
2
2 ab
例题：
错误！未指定书签。 【 2013.7 题 10】 在 错误！未指定书签。 中， 定书签。 ,错误！未指定书签。 所对的边为 边为（ A.1
【 2014.1 题 10】在 则 b 等于 (
) ）
B.错误！未指定书签。
A 45 , B 30 错误！未指
错误！未指定书签。 所对的 2 错误！未指定书签。 ，则
2
C.错误！未指定书签。
3
D .2
ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 A 135 , B 30 , a 2 ,
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A.1
【 2014.7 题 10】在 则 （ A.3
B. 2
C.
3
D.2
ABC 中，
）
A、 B、 C 所对的边长分别为 a、b、c，其中 a=4，b=3， C
60 ,
ABC的面积为
B. 3 3
C. 6
D. 6 3
【 2014.7 题 15】 在 A. 30
【 2015.1 题 10】在 （
A.
）
ABC 中， b 2
B. 60
a 2 c2
3ac ，则 B的大小
（
）
C. 120 D. 150
ABC 中， A、 B、C 所对的边长分别是 a、b、 c
且
b A 30，B 45，a 3 ，则
oo
2
B.
2 2
C.
3 2
D.
4 2
【 2016.1 题 14】在 则角 B 等于（ A.
）
ABC 中， a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边， 且 a 2 , b
2 , A 45 ,
30
B.
60
C.
150 30 或
D.
120 60 或
【 2015.7 题 25】（本小题满分 7 分）
在锐角
C所对的边分别ABC 中，内角 A、B、
是
（ 1）求 c 的值； （ 2）求 sin A的
值。
a、 b、c ，若 C 45， b 4 5 ， sin B
o
2 5 5
。
十五、线性规划
x 1
【 2014.1 题 21】若实数 x,y 满足约束条件：
y 2
，则 z = x + 2y 的最大值等于
。
2x y 2 0
【 2014.7 题 20】 两个非负实数满足 x 3 y
3 ，则 z x y 的最小值为
.
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x 3
【 2015.1 题 20】若实数 x、y 满足约束条件 f ( x)
x y 0
，则 z 2x y 的最小值是
。
x y 2 0
x 1
【 2015.7 题 20】 已知 x，y 满足约束条件
y 1
，则目标函数
z 3x y 的最大值为
.
x y 1 0
x y 2
【 2016.1 题 19】 设实数 x 、 y 满足约束条件
x y y 0
则目标函数
z 2x y的最大值
.
十六、数列、等差数列、等比数列 知识点：
1、数列的前 n 项和： Sn
a1 a2 a3
an ； 数列前 n 项和与通项的关系：
2、等差数列 ：（ 1）、定义 ：等差数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 （ 2）、通项公式 ： an
(an
an 1
d ) ；
a1
( n 1)d （其中首项是 a1 ，公差是 d ；） na1 (d
0) an ) 2
na1
d≠ 0） n( n 1) （
d 2 a b 2
（ 3）、前 n 项和： Sn
n( a1
（ 4）、等差中项：
A 是 a 与 b 的等差中项： A
或 2A a， a+d a b ，三个数成等差常设： a-d，
3、等比数列：（ 1）、定义 ：等比数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数
（ q
a
( na n 1
q )
0 ）。
a1 q
a 1
n 1
（ 2）、通项公式： an （ 3）、前 n 项和： Sn（其中：首项是
n
a1 ，公比是 q ）
na1 a n q 1 q
1 q
( q 1)
a 1 (1 q )
, ( q 1)
（ 4）、等比中项： 例题：
G， G 是 a 与 b 的等比中项：
a
b 即 G 2 G
ab （或 G ab ，等比中项有两个）
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【 2014.1 题 16】 已知数列
A.2
B. 3
an 是公比为实数的等比数列，且
C. 4
D. 5
a1 1， a5 9 ，则 a3 等于 (
)
【 2015.1 题 12】 已知数列 { an} 的首项 a1
1 ，又 an 1
2 an
1 ，则这个数列的第四项是（
）
A.
11 7
B.
11 5
C.
21 11
4 ， a2
D. 6
【 2015.7 题 9】 已知等差数列 an 中， a1
A. 18
B. 21
C. 28
6 ，则 S4 （
）
D. 40
【 2015.7 题 22】设等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 【 2016.1 题 5】 若等差数列 A.3
B.2
2 ，S3 14 ，若 an
0 ，则公比 q
）
.
an 中， a1
2 ， a5
C.1
6 ，则公差 d 等于（
D.0
十七、解不等式、不等式性质及基本不等式 1、重要不等式：（ 1）a , b R
a
2
b
2
2 ab
或
ab
a (
2
b 2
2
当且仅当 a＝ b 时取“ =”号) ．
2、 均值不等式： （ 2） a, b R ( 当且仅当 a＝ b 时取“ =”号 ) ．
一正、二定、三相等 例题：
【 2013.7 题 9】 若 x<0,则 x + A.-4
B. -3
a b 2 ab 可以化简为
a b 2
ab 或
ab
a
(
2
b 2 )
1 x
错误！未指定书签。 的最大值为（
D.-1
）
C.-2
【 2013.7 题 14】 不等式 A.
x
2
2 x 错误！未指定书签。 的解集是（
B.错误！未指定书签。
）
C.错误！未指定书签。
D.
x | 0 x 2 错误！未指定书签。
错误！未指定书签。
【 2014.1 题 13】 不等式 x( x 3) A.
0 的解集是 (
C.
)
x | x 0
B.
x| x 3 0 ，则
b a
a b
x | 0 x 3
）
D.
x| x 0或 3
x
【 2014.7 题 4】 已知 ab
B. 2
的最小值为（
D. 2 2
0.3
A.1 C.2
5
【 2015.1 题 16】 设 a
1，b 0.3，c 5，则下列不等式中正确的是（
）
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C. c a b D. a c b b a c
） 【 2015.1 题 17】 若正数 a、 b满ab a b 8 ，则 ab 的取值范围是（
A.
B.
A.
a b c (0，16]
足
B.
[4，16) C. [4，16]
D.
[16， )
。
【 2015.1 题 22】已知函数 【 2016.1 题 4】 不等式 4 A.
2] 时， f ( f ( x) mx 2 ，当 x [0，x) 0 都成立，则 m 的取值范围是
x
2
0 的解集为（
C.
）
2,
B.
,2 2,2
D.
, 2 2,
十八、函数的定义域（二次根式）单调性、最值、奇偶性、周期性 知识点： 1、 求 y
反函数 ：解出 x f (x) 的
f ( y) ， x, y 互换，写出 y
1
f ( x) 的定义域；函数图象关于
1
y=x 对称。
2、（1）函数定义域求解依据：
①分母不为 0； ②开偶次方被开方数 0 ； ③指数的真数属于 R、 对数的真数
0 .
x 0 在其定义域内，则 f (0) 0 ）；
3、奇函数： 是 f (- x ) = - f (x ) ，函数图象关于原点对称（若
偶函数： 是 f (- x ) = f (x ) ，函数图象关于 y 轴对称。 4、指数幂的含义及其运算性质：
（ 1）指数式的运算：① a a
r
s
a ；② (a )
r s r s
a ；③ ( ab)
rs r
a b (a 0, b 0, r , s Q) 。
r r
指数函数 （ 1）函数 y
（ 2）指数函数 y a a 0, a 1) 当 0 a 1 为减函数，当 a 1 为增函数； （ 3）指数函数的图象和性质
a x (a 0且
x a (
1) 叫做指数函数。
a 1 0 a 1
图
象
0
0
(1) 定义域： R
（2）值域：（ 0， +∞）
（3）过定点（ 0， 1），即 x=0 时， y=1
（ 4）在 R 上是增函数 （ 4）在 R 上是减函数
(5) x
0, a
x
性
质
1;
x
(5) x 0,0 a
x
0, a
x
x
1;
x 0, 0 a 1 1
5、对数函数的含义及其运算性质： （ 1）函数 y loga x(a 0, a 1) 叫对数函数。
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（ 2）对数函数 y log a x(a 0, a 1) 当 0 a 1 为减函数，当
a 1为增函
1： log a a 1 ，
数； ①负数和零没有对数；② 1 的对数等于 0 ： log a 1 0 ；③底同的对数等于 （ 3）对数的运算性质：如果
a > 0 且 a ≠ 1 , M> 0 , N> 0 ，那么：
① log a MN
log a M log a N ； ② log M a
N
log a M
log a N ；
③ log M n
a n log a M (n R) 。
④ a
log a M
M
（ 4）换底公式： log log c b
a b
log (a 0且1, c 0且
1, b 0)
c a
(5) 对数函数的图象和性质
a 1
0 a 1
1
1
图 01
0
1
象
(1) 定义域：（
0， +∞） （ 2）值域： R
性
（ 3）过定点（ 1，0），即 x=1 时， y=0
质 （
4）在 （0， +∞）上是增函数 （ 4）在（ 0， +∞）上是减函数 (5) x 1,log a x
0 ；
(5) x 1, log a x
0 ；
0 x 1, log a x 0 0 x 1,log a x 0
6、幂函数： 函数 y x 叫做幂函数
例题：
【 2013.7 题 15】 已知函数
f ( x) = x ，则下列说法正确的是（
）
A.f(x)错误！未指定书签。 是奇函数，且在 (0, ) 上是增函数
是奇函数，且在 (0,
) 上是减函数
欢迎下载 B. 错误！未指定书签。
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C.错误！未指定书签。 是偶函数，且在 (0, ) 上是增函数 D.错误！未指定书签。 是偶
函数，且在 (0,
) 上是减函数
【 2013.7 题 22】 函数 f (x) = log a x 错误！未指定书签。 (a>0,且 a 1)在区间 [2,8] 错误！未指定书
签。 上的最大值为 6，则 a = .
【 2014.1 题 15】 已知函数 f ( x) x 3
，则下列说法中正确的是 (
)
A. f ( x) 为奇函数，且在 0, 上是增函数 B. f ( x) 为奇函数，且在 0, 上是减函数 C. f ( x) 为偶函数， 且在
0,
上是增函数
D. f ( x) 为偶函数，且在
0,
上是减函数
【 2014.1 题 22】 函数 y 2 x
log 2 x 在区间 1,4 上的最大值是
。
【 2014.7 题 14】 偶函数 f (x) 在区间 2, 1 上单调递减，则函数 f (x) 在区间 1,2 上（
）
A. 单调递增，且有最小值 f (1) B. 单调递增，且有最大值 f (1) C. 单调递减，且有最小值 f (2 )
D. 单调递减，且有最大值
f (2)
【 2014.7 题 17】 函数 f ( x) log 0.5 ( x 3) 的定义域是（
）
A. 4,
B.
,4 C. 3,
D. 3,4
【 2015.1 题 15】 已知函数
f ( x)
x( x 4)， x 0
x( x 4)， x ，则 f ( x) 的奇偶性为（
）
0
A.奇函数
B. 偶函数 C. 既是奇函数以是偶函数
D. 非奇非偶函数
【 2015.7 题 4】 在下列函数中，为偶函数的是（ ）
A.
y lg x
B. y x
2
C. y x
3
D.
y x 1
【 2015.7 题 19】 函数 f ( x) ( 1 x
[ 2
) 在区间 2，
1] 上的最小值为 .
【 2016.1 题 17】 已知 f (x) 的定义在 R 上的偶函数，且在区间
,0
上为减函数，则
f (1)、f ( 2) 、 f (3) 的大小关系是（
）
A. f (1) f ( 2) f (3) B. f ( 2) f (1) f (3)
C.
f (1) f (3)
f ( 2) D.
f (1) f ( 2) f (3)
2016.1 题 22】 已知函数
f ( x)
2
x
, x 5
【f ( x 1), x 5
， f (6) 的值为
.
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十九、指数和对数的运算 【 2015.1 题 18】 log 5
5 。
【 2015.7 题 6】 log4 2
7
log 2 7 （
）
A. － 2 B. 2 C. 1 2
D.
1 2
【 2016.1 题 10】 log 4 2 3 log 3 5 log 2
5
的值为（
）
5 2 1 A.
2
B.
5
C.2 D.
2
二十、三角函数性质化简求最值，周期、单调区间（向量运算、数量积）
【 2013.7 题 23】已知函数 f (x) = 2sin x cos x - 1 错误！未指定书签。 .(1)求 f ( 4
) 错误！未指定书
签。 的值及 f ( x) 错误！未指定书签。 的最小正周期； (2)求错误！未指定书签。 的最大值和最小
值 .（ 8 分）
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【 2014.1 题 9】 下列函数中，以 为最小正周期的是 ( )
2
A. y
sin
x 2
B. y sin x C. y
2
sin 2 x
2
D． y sin 4 x
【 2014.1 题 23】 （本小题满分 8 分）已知函数 f ( x) = cos x - sin x . （ 1）求 f ( ) 的值及 f ( x) 的最大值；（ 2）求 f ( x) 的递减区间。
4
【 2014.7 题 22】 （本小题满分 8 分）已知（ 1）若 a// b ，求 x 的值；
（ 2）求 f (x) = a b ，当 x 为何值时， a
(1,1) ， b (sin x,cos x) ，f (x) 取得最大值，并求出这个最大值欢迎下载 x (0, 2
) ..
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【 2015.1 题 23】 已知函数
f ( x) 2sin(2 x
) 。
6
（１）求
f ( x) 的最小正周期及函数 f (x) 取最小值时 x 的集合；
11
， ] 上的简图。（７分） （２）画出函数 f (x) 在区间 [
12 12
【 2015.7 题 12 】 为了得到函数 （
）
y sin(3x
) 的图象，只需要把函数
6
y (x
) 的图象上的所有点 6
A. 横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变
1 倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短为原来的
3
D. 纵坐标缩短为原来的
C. 纵坐标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变 二十一、数的进位制
1 倍，横坐标不变 3
【 2013.7 题 19】化二进制数为十进制： 101(2) = 错误！ 未指定书签。 【 2014.1 题 14】 已知 f ( x) 的最内层括号内一次多项式
A. 1
B. 2
错误！ 未指定书签。 .
x
5
x
4
x
3
x
)
2
x 1 ，用秦九韶算法计算 f (3) 的值时，首先计算
v1 的值是 (
C. 3
D. 4
） D. 100010
【 2015.7 题 10】 把十进制数 34 化为二进制数为（ A. 101000
B. 100100
C. 100001
二十二、函数解析式求解及函数应用问题 【 2014.7 题 25】 （本小题满分 8 分）
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在直角梯形
ABCD中， AB // ， AB BC ，且 AB 4 ， BC CD 2 ，点 M 为线段 AB 上 CD
的一动点，过点 M 作直线 a AB ，令 AM x ，记梯形位于直线 a 左侧部分的面积 S f (x) .
（ 1）求函数 f ( x) 的解析式； （ 2）作出函数 f ( x) 的图象 .
a
D
C
A
M B
【 2015.7 题 23】（本小题满分 6 分）
已知函数
f ( x)
x 1， x 1
。
x 1， x 1
（ 1）在给定的直角坐标系中作出函数 f ( x) 的图象；
（ 2）求满足方程
f ( x) 4 的 x 值。
二十三、立体几何线面平行、垂直与直线夹角 知识点：
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1、点、线、面的位置关系及相关公理及定理： （ 1） 四公理三推论 :
公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个
公共点的直线。 推论一 ：经过一条直线和这条直线外的一点 ,有且只有一个平面。 推论二 ：经过两条相交直线 ,有且只有一个平面。 推论三 ：经过两条平行直线 ,有且只有一个平面。 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 . （ 2） 空间线线，线面，面面的位置关系 ：
空间两条直线的位置关系 ：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点； 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。 空间直线和平面的位置关系： （ 1）直线在平面内（无数个公共点） ；（符号分别可表示为 a
） （ 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点） ；（符号分别可表示为 a A ）
（ 3）直线和平面平行（没有公共点） （符号分别可表示为
a // ）
空间平面和平面的位置关系： （ 1）两个平面平行——没有公共点； （ 2）两个平面相交——有一条公共直线。
2、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平
行。
a
符号表示： b
a //
。图形表示：
a // b
3、两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。a b
符号表示： a b P
// 。图形表示：
a // b //
4、. 直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。
a //
符号表示： a
a // b 。 图形表示：
b
5、两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。
符号表示： / / ,
a, b a / /b
6、直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。 符号表示 ： a ,b , a b P,l a,l b l 7、.两个平面垂直的判定定理： 一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示： l , l
8、直线与平面垂直的性质： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
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符号表示：
a b
a // b 。
9、平面与平面垂直的性质 ：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面。 符号表示 ：
l , m, l m l .
l
（如右图）
P
10、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。
直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。
11、异面直线所成角的取值范围是
0 ,90 ； 直线与平面所成角的取值范围是 0 ,90 ； 二面角的取值范围是
0 ,180 ；
两个向量所成角的取值范围是
0 ,180
【 2013.7 题 24】 如图，在长方体 ABCD— A1B1C1D1 中， AB=AD=1，（ 1）求证： A1C1// 面 ABCD;
（ 2）求 AC1 与底面 ABCD所成角的正切.（8 分）
值
【 2014.1 题 24】 本小题满分 8 分）
如图所示，在三棱锥 S-ABC中， E、 F 分别为 AC、 BC的中
点。 （1）证明： EF / /平面 SAB ; （2）若 SA
SB， CA CB ,求证： AB SC。
欢迎下载 H
AA1=2. 第 31 页，共 38 页
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【 2014.7 题 24】 本小题满分 8 分） 如图，在正方体 ABCD （ 1）求证 : AC
A1B1C1 D1 中， E 、 F 分别为 DD 1 、 CC1 的中点。
BD1 ;
（ 2） AE // 平面 BFD 1 .
【 2015.1 题 24】 如图，正方体 ABCD
A1B1C1D1 中， E 为 DD1 的中点。
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精品学习资料 （１）证明： BD 1 AC ；
（２）证明： BD1 / /平面 ACE。（ 7 分）
【 2015.7 题 24】（本小题满分 7 分）
如图， AB 是⊙ O 的直径， P 是⊙ O 所在平面外一点，设点 C 为⊙ O 上异于 A、 B 的任意一点。
（ 1）求证： BC 平面
；
PAC
（ 2）若 AC
6 ，求三棱锥 C PAB 的体积。
【 2016.1 题 24】 （本小题满分 7 分）
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D1
C1
A1
B1
E
D
C
A
B
垂直于⊙ O 所在平面，且 PA PB 10 ，
P
A
B
C
第 33 页，共 38 页
PA 精品学习资料 精品学习资料
如图，在四棱锥
P ABCD 中，底面是正方形， PD
平面 ABCD ，且 PD =AD .
（ 1） 求证： PA CD ；
p
（ 2）求异面直线
PA
BC 所成角的大小 .
D
A
B
二十四、应用性问题
【 2013.7 题 25】某城市有一条长 49km 的地铁新干线，市通过多次价格听证，规定地铁运营公 司按以下函数关系收费，
2,(0 x 4) 3,(4 x 9) y
4,(9 x 16) ，其中 y 为票价（单位：元）， x 为里程数（单位： km） .
5,(16 x 25)
6,(25 x 36) 7,(36
x 49)
(1)某人若乘坐该地铁 5km，该付费多少元？ (2)甲乙两人乘坐该线地铁分别为 25km、 49km ，谁在各自的行程内每 km 的平均价格较低？
（本小题满分 8 分）
欢迎下载 第 34 页，共C
38 页
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【 2014.1 题 25】 某商场的一种商品每件进价为 之间的函数关系为 10 元，据调查知每日销售量 m（件）与销售单价 x（元）
y（元）。（单件利润 =
m 70 x ， 10 x 70 。设该商场日销售这种商品的利润为
销售单价
进价；日销售利润 =单件利润
日销售量）
（ 1）求函数 y f ( x) 的解析式；
（ 2）求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值。
【 2016.1 题 25】 （本小题满分 7 分）
2016 年，某厂计划生产 25 吨至 45 吨的某种产品，已知生产该产品的总成本
y（万元）与总
2
产量 x（吨）之间的关系可表示为
y x10
2x 90 .
（ 1） 求该产品每吨的最低生产成本； （ 2） 若该产品每吨的出厂价为
6 万元，求该厂 2016 年获得利润的最大值 .
二十五、数列综合（构造特殊数列） 【 2013.7 题 26】已知数列 an
错误！未指定书签。 满足： a= 1
1 2
, an = 4an- 1 + 1(n ? 2) 错误！未
指定书签。 。
(1)求错误！未指定书签。 ；
欢迎下载 第 35 页，共 38 页
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(2)令 bn = an +
1
错误！未指定书签。 ，求证数列
bn 错误！未指定书签。 是等比数列；
3
(3)求数列 错误！未指定书签。 的前 n 项和 Tn 错误！未指定书签。 .
【 2014.1 题 26】 （本小题满分 10 分） 已知正项数列
an 的前 n 项和为 S1 2n ，且 Sn
4
(a *
n 1) (n N ). （ 1）求 a1 、 a 2 ； （ 2）求证：数列 an 是等差数列；
（ 3）令 bn an 19 ，问数列 bn 的前多少项的和最小？最小值是多少？
【 2014.7 题 26】 （本小题满分 10 分） 已知递增等比数列 an 满足： a 2
a3 a 4 14 ，且 a3 1 是
a 2 ， a4 的等差中项（ 1）求数列
an 的通项公式；
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. 精品学习资料 精品学习资料
（ 2）若数列
an 的前 n 项和为 Sn ，求使 Sn
63 成立的正整数 n 的最大值 .
【 2015.1 题 26】 { an } 中， a1
2, a4 16 。
1）求公比 q ；
2）若数列 { bn } 为等差数列，且满足 b2 a2 1， 3）求数列 { an bn } 的前 n 项和 Tn 。（8 分）
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3
8
a3 ，求数列{ bn} 的通项公式； 第 37 页，共 38 页
已知等比数列（（ （精品学习资料 精品学习资料
【 2016.1 题 26】 .（本小题满分 9 分）
已知数列
an 中， a1 3 ， an 1
can m （
c， m 为常数） （ 1） 当 c 1 ， m 1时，求数an
的通项公式
an ；
（ 2） 当 c
2 ， m
1时，证明：数an 1 为等比数列；
（ 3） 在（ 2）的条件下，记
b1
n
a， Sn
b1 b2 bn ，证明：n 1
欢迎下载 Sn 1 .
第 38 页，共 38 页
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