中考专题---二次函数与几何综合

1朝阳区

25．已知抛物线yaxbxc的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y

2轴交于点C（0，3），过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y= x+5经过D、

M两点.（1）求此抛物线的解析式；

（2）连接AM、AC、BC，试比较∠MAB和∠ACB的大小，并说明你的理由.

2崇文区25．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两

点，点A在点B的左侧，直线ykx3与该二次函数的图象交于D、B两点，其中点D在y轴上，点B的坐标为（3，0）.

（1）求k的值和这个二次函数的解析式；

（2）设抛物线的顶点为C，点F为线段DB上的一点，且使得∠DCF=∠ODB，求出此时点F的坐标； （3）在（2）的条件下，若点P为直线DB上的一个动点，过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图

象交于点E.问：是否存在这样的点P，使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

3昌平24.已知抛物线y= - x2 + m x – n 的对称轴为x= -2，且与x轴只有一个交点.

（1）求m，n的值；

（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求抛物线

C的解析式；

（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△

BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

4朝阳区24. 抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连

接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明

理由.

5、（广东省深圳市）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数yaxbxc(a0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝

21． 3（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

EAOBxyyACD图 9OBxCD图 10G6、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

7（2009年广东广州）如图13，二次函数yxpxq(p0)的图象与x

轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接

圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若

存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

2

5。 48（2009年潍坊市）24如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线yaxbxc与y轴交于点D，与直线yx交于点M、N，且MA（1）求抛物线的解析式； 、NC分别与圆O相切于点A和点C．

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． y

D N

E A O C F M

B 9（2009年山东临沂市）26．（本小题满分13分） 如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，2)三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

y x O B 1 4 A

2 C

（第26题图）

10（2009年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点D(0，73)，

9且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

2x 1、25．解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），

∴设点D的坐标为(x，3) ． ∵直线y= x+5经过D点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．

根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y）， 又∵直线y= x+5经过M点，

∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．

∴设抛物线的解析式为ya(x1)4． ∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．

即抛物线的解析式为yx2x3．……………………………………3分 （2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．

由（1）中抛物线yx2x3可得 点A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=32． ∴∠PAB＝45°．

∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22． ∴PC=AC－PA=2． 在Rt△BPC中，tan∠BCP=

222PB=2． PC在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2． tan∠NAM=

MN=2． AN∴∠BCP＝∠NAM．

即∠ACB＝∠MAB．…………………………………………………………8分

2崇文区25．解：（1）∵ 直线ykx3经过点B（3，0），

∴ 可求出k1. ………………1分 由题意可知， 点D的坐标为（0，3）. ∵ 抛物线yxbxc经过点B和点D，

2∴ 093bc,b2,解得 

3c.c3.2∴ 抛物线的解析式为yx2x3.……3分

（2）在线段DB上存在这样的点P，使得∠DCP=∠ODB . 如图，可求顶点C的坐标为（1，4）.

由题意，可知∠ODB＝45°.过点D作此抛物线对称轴的垂线DG，可知DG=CG=1,

所以此时∠DCG=45°,点F的坐标为（1，2）. ……………5分

（3）存在这样的点P，使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形. 由题意知PE∥CF，

∴ 要使以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形只要满足PE=CF=2即可. ∵ 点P在直线DB上，∴ 可设点P的坐标为 （x,x3）.

2∵ 点E在抛物线 yx2x3上，∴ 可设点E的坐标为 （x,x2x3）.

2∴ 当x3(x2x3)2时，解得 x2317； 22当x2x3(x3)2时，解得 x11,x22. x1不合题意，舍去.

∴ 满足题意的点P的横坐标分别为x1317317,x2,x32. …8分 22说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.

3昌平24．解：（1）∵抛物线的对称轴为x2，

∴m4． ----------------------------1分

∵抛物线与x轴只有一个交点 ， ∴ m4n0 ．

∴ n4． ---------------------------2分 （2）∵m4 ，n4， ∴yx4x4． ∴y(x2)．

∴抛物线C的解析式为 yx1 ． ---------------------------3分 22222 （3）假设点D存在，设D(a,b)． 作DHy轴于点H，如图． 则DH︱a︱，BH︱b－1︱． 由△DPB为等边三角形，

得Rt△DHB中，∠HBD=60°．

PD2D4HBOD1D3xyDH． BHa ∴3．

b1 ∴tan60 ∴a3(b1)．

∵D(a,b)在抛物线C上 ， ∴ba1． ∴b3(b1)1． ∴b2或b22221． 323． 3 ∴a3或a ∴满足条件的点存在，分别为

D1(3,2),D2(3,,2),D3(231231,),D4(,) ． --------------------7分 33335

【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。

解：（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0）

abc0将A、B、C三点的坐标代入得9a3bc0

c3a1解得：b2

c3所以这个二次函数的表达式为：yx2x3 （2）存在，F点的坐标为（2，－3）

易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：yx3 ∴E点的坐标为（－3，0） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3） （3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为yx1．

设P（x，x2x3），则Q（x，－x－1），PQxx2．

222

SAPGSAPQSGPQ当x

1(x2x2)3 21

时，△APG的面积最大 2

121527S的最大值为，． APG48此时P点的坐标为,

6解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，

∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC∽ ΔCOB， OAOC∴． OCOB又∵A(–1，0)，B(9，0)，

1OC∴，解得OC=3(负值舍去)． OC9 ∴C(0，–3)，

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，

1∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，

3118∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x2–x–3．

333 (2) ∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)， ∴OO′=4，O′(4，0)，

∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，

11∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，

22连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=∴D(4，–5)．

∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0） 9kb0,k1,∴解得

4kb5.b9.∴直线BD的解析式为y=x–9.

(3) 假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD， 设射线DP交⊙O′于点Q，则BQCD． 分两种情况(如答案图1所示)：

①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)． ∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合， 因此，点Q1(7，–4)符合BQCD， ∵D(4，–5)，Q1(7，–4)，

119yx，11933∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x–．解方程组得

18332yxx3.331AB=5． 2941941x，x，1222 y2941；y2941.126694129419412941，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]． 2626②∵Q1(7，–4)，

∴点P1坐标为(∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合BQCD． ∵D(4，–5)，Q2(7，4)．

∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x–17．

y3x17，x13，x214，解方程组得 128y8；y25.yxx3.1233∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．

9412941∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)．

26557 25.解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=，

42 设A（a,0）,B(b,0)AB=ba=

2533(ab)24ab=，解得p=,但p<0,所以p=。

222 所以解析式为：yx （2）令y=0，解方程得x23x1 2311x10，得x1,x22,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC 222 中可求得AC=

5,同样可求得BC=5,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB 2 为斜边，所以外接圆的直径为AB=

555,所以m. 244（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式

32yxx15 为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（,9） 22y2x4 ②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把

32153yxx1 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D(,) 2222y0.5x0.25 综上，所以存在两点：（

553,9）或(,)。 2228 24．解：（1）

圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，

点A、B、C、D的坐标分别为A(1，、0)B(0，1)、C(1，、0)D(01)，

抛物线与直线yx交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C，

M(1，1)、N(11)，． ·················································································· 2分

，、M(1，1)、N(11)，的坐标代入 点D、M、N在抛物线上，将D(01)c1a1yax2bxc，得：1abc 解之，得：b1

1abcc1抛物线的解析式为：yx2x1． ···························································· 4分

（2）

15yxx1x

2422抛物线的对称轴为x1， 2y D E C F x P N 115OE，DE1． ················· 6分

242连结BF，BFD90°，

△BFD∽△EOD，又DEDEOD， DBFDA M O B 5，OD1，DB2， 245， 5FDEFFDDE45535． ··························································· 8分 5210（3）点P在抛物线上． ·················································································· 9分 设过D、C点的直线为：ykxb，

将点C(1，、0)D(01)，的坐标代入ykxb，得：k1，b1，

直线DC为：yx1． ·········································································· 10分

过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y1， 将y1代入yx1，得：x2．

P点的坐标为(2，1)， ·············································································· 11分

当x2时，yxx12211，

所以，P点在抛物线yxx1上． ··························································· 12分

说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．

2229 26．解：（1）

该抛物线过点C(0，2)，可设该抛物线的解析式为yaxbx2．

2将A(4，0)，B(1，0)代入，

1a，16a4b20，2得解得

5ab20.b.215此抛物线的解析式为yx2x2． ················································ （3分）

22（2）存在． ···························································································· （4分）

如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为当1m4时，

125mm2， 22y B O 1 2 15AM4m，PMm2m2．

22又COAPMA90°，

AMAO2①当时，

PMOC1△APM∽△ACO，

即4m2D P A M E C 4 x （第26题图） 125mm2．

22解得m12，m24（舍去），P(21)··················································· （6分） ，． ·②当

AMOC115时，△APM∽△CAO，即2(4m)m2m2． PMOA222解得m14，m25（均不合题意，舍去）

当1m4时，P(2，····································································· （7分） 1)． ·

类似地可求出当m4时，P(5，······················································· （8分） 2)． ·当m1时，P(3，14)．

1)或(5，14)． ·2)或(3，综上所述，符合条件的点P为(2，························ （9分）

（3）如图，设D点的横坐标为t(0t4)，则D点的纵坐标为t过D作y轴的平行线交AC于E． 由题意可求得直线AC的解析式为y1225t2． 21x2． ··········································· （10分） 21E点的坐标为t，t2．

21511DEt2t2t2t22t． ········································· （11分）

222211S△DACt22t4t24t(t2)24．

22当t2时，△DAC面积最大．

·························································································· （13分） D(2，1)． ·

10 25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)+k

2

∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，73)

9∴y=a(x-4)+k 7316ak ………………①

92

又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=3，k=－3

9∴二次函数的解析式为：y=3(x-4)2－3

9⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M

∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO

733PMBM3 9∴ ∴PMDOBO73∴点P的坐标为(4，3)

3⑶由⑴知点C(4，3)，

又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=3，

3∴∠ACM=60，∵AC=BC，∴∠ACB=120 ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120，则∠QBN=60 ∴QN=33，BN=3，ON=10， 此时点Q(10，33)，

如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，33) ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB， 此时点Q的坐标是(4，3)，

经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3)．

o

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o

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