高一函数值域定义域方法总结

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。 ( 6 )x0中x0

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法

（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆

求法）

（7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

11；② f(x)3x2；③ f(x)x1 x22x1解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，

x21而x2时，分式有意义，∴这个函数的定义域是x|x2.

x22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x2无意义，

32而3x20，即x时，根式3x2才有意义，

32∴这个函数的定义域是{x|x}.

3①

f(x)③∵当x10且2x0，即x1且x2时，根式x1和分式

1 同时有意义， 2x∴这个函数的定义域是{x|x1且x另解：要使函数有意义，必须： 例2 求下列函数的定义域：

2}

x10x1  x22x0下载后可复制编辑

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①

f(x)f(x)4x1 ②f(x)11111x13x7

2x23x4x12

③

④

f(x)(x1)0xx⑤

yx233解：①要使函数有意义，必须：4x ∴函数

21 即： 3x3

3,3]

f(x)4x21的定义域为： [x23x40x4或x1②要使函数有意义，必须： x120x3且x1x3或3x1或x4

∴定义域为：{ x|x3或3x1或x4}

x0x01③要使函数有意义，必须： 10  x1

xx1110211x1 ∴函数的定义域为：{x|xR且x0,1,}

2

x10x1④要使函数有意义，必须：  

xx0x0 ∴定义域为：

x|x1或1x0

x230xR7 ⑤要使函数有意义，必须：  x3x703即 x<777 或 x> ∴定义域为：{x|x} 333例3 若函数

yax2ax21a的定义域是R，求实数a 的取值范围

解：∵定义域是R,∴axax10恒成立， a下载后可复制编辑

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a01∴等价于0a2

a24a0a例4 若函数

11yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x)f(x)的定义域 44解：要使函数有意义，必须：

1351x1x43344x 3141x1x444∴函数例5 已知

311yf(x)f(x)的定义域为：x|x4443 4f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，

1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1， ∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知

f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。

答案：－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1

练习：设f(x)的定义域是[3，2]，求函数f(x2)的定义域 解：要使函数有意义，必须：3 ∵

x22 得： 1x22

x≥0 ∴ 0x22 0x642

∴ 函数

f(x2)的定域义为：x|0x642



例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

5已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。,2）

2（提示：定义域是自变量x的取值范围） 练习：

已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若

yfx的定义域是0,2，则函数fx1f2x1的定义域是 （

）

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Ａ．

1111,10, , Ｂ Ｃ． Ｄ．1,12222已知函数

Ａ．

fxA1x的定义域为Ａ，函数yf的定义域为Ｂ，则 （ fx1xBB Ｂ．BA Ｃ．ABB Ｄ． AB

）

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数

yk(k0)的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； x二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R，

当a>0时，值域为{y|y例1 求下列函数的值域

(4acb2)}；当a<0时，值域为{(4acb2)}.

y|y4a4a① y=3x+2(-1x1) ②③

2 f(x)（1x3）3xyx1（记住图像） x解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②略

③ 当x>0，∴

yx121)22， =(xxx1)222)=－(xxx当x<0时，

y(x1 12fx = x+x-1oy=x1-2∴值域是(,2][2，+).（此法也称为配方法）

函数

yx1的图像为： x二次函数在区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： 下载后可复制编辑

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①yx24x1； ②；

yx24x1,x[3,4]

③

yx24x1,x[0,1]； ④yx24x1,x[0,5]；

解：∵yx24x1(x2)23，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }. ②∵顶点横坐标2[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，

y321-2-1O-1-2-3123456xymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，

ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，

ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数f(x)ax2bxc(a0),

⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当xb(4acb2)； 时，其最小值ymin2a4a2b(4acb).

②当a<0时，则当x时，其最大值ymax2a4a⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若x0[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，

再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大（小）值. ②若x0[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。 下载后可复制编辑

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∴函数的值域为

2、求函数

3, .

yx22x5,x0,5 的值域

解： 对称轴

x10,5

x1时,ymin4

x5时,ymax20 值域为4,20例3 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端

点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 法二：换元法(下题讲)

例4 求函数yx21x解：（换元法）设

的值域

1xt，则yt22t1(t0)

对称轴t10,，且开口向下

当t1时，ymax2

值域为,2 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体

现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 例5 （选）求函数

yx35x 的值域

解：（平方法）函数定义域为：x3,5

y2(x3)(5x)2x28x15

由x3,5,得x28x150,1y2,42

原函数值域为2,2例6 （选不要求）求函数

的值域

yx1x2解：（三角换元法） 1x1 设xcos0,

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ycossincossin2sin()1,2 4原函数的值域为1,2

小结：（1）若题目中含有

a1，则可设

2asin,22(或设acos,0)则可设a

，其中0（2）若题目中含有ab21cos,bsin2

（3）若题目中含有（4）若题目中含有

1x21x2，则可设x，则可设xcos，其中0 tan，其中22

（5）若题目中含有xyr(x0,y0,r0)，则可设xrcos2,yrsin2

其中0, 2y 4 例7 求

yx3x1 的值域

,x14y22x,1x3 如图，

4,x3解法一：（图象法）可化为

-1 -4 0 1 3 x 观察得值域

y4y4

ab表示实数a,b在数轴上的距离可得。

解法二：（零点法）画数轴 利用

解法三：（选）（不等式法）

-1 x 0 3 x3x1(x3)(x1)4x3x1(x1)4x1x14x14 同样可得值域

练习：

（三种方法均可） yxx1的值域呢？ （1,）

例8 求函数

y9x3x2(x0,1) 的值域

x解：（换元法）设3t ，则 1t3 原函数可化为

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yt2t2,对称轴t t1时,ymin11,322;t3时,ymax8

y 值域为2,8例9求函数

1y3x22x 的值域

1 t221解：（换元法）令tx2x(x1)1，则y(t1)

3 由指数函数的单调性知，原函数的值域为

0 x 1, 3例10 求函数

y2x(x0) 的值域

解：（图象法）如图，值域为例11 求函数

0,1

yx1 的值域 x2x,x12y观察得原函数值域为yy1

1y解法一：（逆求法）解出解法二：（分离常数法）由

yx23311 ，可得值域yy1

x2x2小结：已知分式函数

yaxb(c0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为yycxdba；cadac(adbc)，用复合

如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为yccxd函数法来求值域。

3x例12 求函数yx 的值域

31解法一：（逆求法）3xy01y0y1 原函数的值域为0,1

小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。 解法二：（换元法）设3x1t ，

1t3x1111t1 11则yxxt31311 0 1 1t101t下载后可复制编辑

0y1

t精品文

原函数的值域为01

2t2x1练习：y=x；（y∈(-1，1)）.

21x21例13 函数y2 的值域

x1解法一：（逆求法）

x21y01y1y1

0 1 t 原函数的值域为1,1

2解法二：（换元法）设x1t ，则

2

22t原函数值域即得t101y1

解法三：（判别式法）原函数可化为 1） 2）

(y1)x20xy10

y1时 不成立

y1时，004(y1)(y1)01y1

1y1

综合1）、2）值域{y|1y1}

设xtan,，则

22解法四：（三角换元法）xR1tan2ycos22,cos21,1

1tan2 原函数的值域为{y|1例14 求函数

y1}

y5的值域

2x24x32解法一：（判别式法）化为2yx1）2）

4yx(3y5)0

5t5 y0时，不成立 y0时，0得

0 1 t 下载后可复制编辑

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(4y)8y(3y5)00y5 0y5

综合1）、2）值域{y|0解法二：（复合函数法）令2x2y5}

4x3t，则y

5

t

t2(x1)211

0y5 所以，值域{y|0y5}

例15 函数

yx11的值域 xx2(1y)x10

解法一：（判别式法）原式可化为

0(1y)240y3或y112y3 x,13,原函数值域为解法二：（不等式法）1）当x

0时，x2）

x0时，x11(x)2x(x)y1 综合1）2）知，原函数值域为

,13,

x22x2(x1)的值域 例16 (选) 求函数yx1解法一：（判别式法）原式可化为

x2(2y)x2y0

0(2y)24(2y)0 xy2或y2

1y2舍去2,原函数值域为解法二：（不等式法）原函数可化为 (x1)211yx12(x1)x1x1 当且仅当x0时取等号，故值域为2,

x22x2(2x2)的值域 例17 （选） 求函数yx1解：（换元法）令x1t ，则原函数可化为yt1(1t3)。。。 t下载后可复制编辑

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ax2bxc22小结：已知分式函数y(ad0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义2dxexf域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为

（选）y二次式一次式(或y)一次式二次式的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足

用基本不等式的条件，转化为利用函数

练习：

1 、

yxa(x0)的单调性去解。 xyx219(x0)； 2x解：∵x0，

yx21129(x)11，∴y11. 2xxyx2192911(或利用对勾函数图像法) x2另外，此题利用基本不等式解更简捷：

2 、

y5

2x24x303 、求函数的值域 ①

yx2x； ②y24xx2

解：①令u2x0,则x2u2,

原式可化为

19y2u2u(u)2,

2499，∴函数的值域是（-，]. 442∵u0，∴y②解：令 t=4xx0 得 0x4

22在此区间内 (4xx)max=4 ，(4xx)min =0

∴函数

y24xx2的值域是{ y| 0y2}

4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

2x1(x1)解法1：将函数化为分段函数形式：y3(1x2)，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.

2x1(x2)解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]. 如图 下载后可复制编辑

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x-1O12

-1Ox12

-1O12x

5、求函数

y2x41x的值域

解：设

t1x 则 t0 x=1t2

yf (t)2(1t2)4t2t24t22(t1)24

代入得

∵t0 ∴y4

x25x66、（选）求函数y的值域

x2x6方法一：去分母得 (y1)x+(y+5)x6y6=0 ① 当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0

222由此得 (5y+1)

0 1515检验 y （有一个根时需验证）时 x2（代入①求根）

562()5∵2  定义域 { x| x2且 x3} ∴

y1 5再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1

1x25x6综上所述，函数y2的值域为 { y| y1且 y}

5xx6方法二：把已知函数化为函数

y(x2)(x3)x36 (x2) 1(x2)(x3)x3x3x25x6111 由此可得 y1，∵ x=2时y即 y∴函数y的值域为 { y| y1且 y} x2x6555

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