高中数学-集合与集合的表示方法同步练习

同步测控

我夯基,我达标

1.下列各项中,不能组成集合的是( ) A.所有正三角形

B.《数学(人教B版)》(必修1)中的所有习题 C.所有数学难题

D.2008北京奥运会的所有比赛项目

解析：A、B、D均满足集合元素的确定性,C中的“难”无法确定难的界限. 答案：C

2.给出下列关系:①2∈R;②5Q;③4.5∈Q;④0∈N.其中正确命题的个数为( )

*

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：无限不循环小数均为无理数.有理数和无理数统称为实数,所以①②③正确.正整数集*

N是指除了0以外的所有自然数组成的集合,所以④错. 答案：C

3.已知集合S={a,b,c}中三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：判断三角形的形状,要考虑三角形的边和角满足的关系.一般先判断是否为等边、等腰、直角,再考虑钝角或锐角三角形.解决本题的关键是集合中元素互异性的应用,即a、b、c互不相等. 答案：D

4.下列四个集合中,表示空集的是( )

22

A.{0} B.{(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R} C.{x||x|=5,x∈Z,xN} D.{x|2x+3x-2=0,x∈N}

2

解析：空集是不含任何元素的集合.B中元素是(0,0),C中元素是-5,D中方程的解-2,

1都不2属于N,所以D为空集. 答案：D

22

5.a,a,b,b,a,b构成集合M,则M中元素的个数最多有( )

A.6个 B.5个 C.4个 D.3个

22

解析：由集合元素的互异性,知集合中的元素最多为a,b,a,b,且4个元素互不相等. 答案：C

*

6.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( )

A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}

*

解析：本题的集合表示方法是特征性质描述法,选项为列举法,关键要掌握N表示的是正整数集. 答案：B

2

7.在数集{2x,x-x}中,实数x的取值范围是_______.

2

解析：本题主要考查集合元素的互异性.实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x≠0且x≠3}. 答案：{x|x≠0且x≠3}

1

8.在条件(1)x∈N;(2)x∈Q;(3)x∈R下,分别写出方程x(x+1)·(x的解集.

分析:本题只需先判断出方程在实数范围内的根便可迎刃而解. 解：在实数范围内,方程x(x+1)·(x(1)当x∈N时,解集为{0};

122

)·(x-2)·(x+2)=021122

)·(x-2)·(x+2)=0的根为0,-1,,±2. 221}; 21(3)当x∈R时,解集为{0,-1,,2,2}.

269.(1)已知集合M={x∈N|∈Z},求M;

1x6(2)已知集合C={∈Z|x∈N},求C.

1x66分析:集合M中的元素是自然数x,满足条件是是整数;集合C中的元素是,满足条

1x1x(2)当x∈Q时,解集为{0,-1,件的x是自然数. 解：(1)∵

6∈Z,∴1+x=±1,±2,±3,±6. 1x6=6,3,2,1. 1x又∵x∈N,∴x=0,1,2,5.∴M={0,1,2,5}. (2)结合(1),知

∴C={6,3,2,1}.

22

10.设集合A={a|a=n+1,n∈N},集合B={b|b=m-2m+2,m∈N},若a∈A,试判断a与集合B的关系.

分析:注意应用等价转化的方法,达到形式统一.

222

解：∵a∈A,∴a=n+1=n-2n+2n+1=(n+2n+1)-2(n+1)+2

2

=(n+1)-2(n+1)+2. ∵n∈N,∴n+1∈N. 因此a∈B.

我综合,我发展

11．集合A={1,-3,5,-7,9,-11,…}用描述法表示正确的是( )

nnn

①{x|x=2±1,n∈N} ②{x|x=(-1)(2n-1),n∈N} ③{x|x=(-1)(2n+1),n∈N}

n+1

④{x|x=(-1)(2n-1),n∈N}

A.只有④ B.①④ C.②④ D.③④ 解析：取n=0,1,2验证各选项,可知①②不符,③④正确. 答案：D

12.设P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P※Q中元素的个数为( )

A.3 B.4 C.7 D.12 解析：集合P※Q的元素是点集,P中的元素构成a,Q中元素构成b,所以所求集合中的元素有(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7). 答案：D

2

13.含有三个实数的某集合可表示为{a,

2007

2008

b2

,1},也可表示为{a,a+b,0},则aa+b=_________. 解析：根据两个相同集合元素所满足的相等关系,进行分类讨论,注意检验所得集合中元素应满足互异性.

bb0,0,由题意,知a≠0,所以①a或②a

a21ab1.由①得b0,

a1.b0,而不符合集合元素的互异性,

a1由②亦有b0,舍去.

a1b0,故有

a-1.∴a+b=-1. 答案：-1

14.给出的下列5种说法中正确说法的序号是___________(填上所有正确说法的序号). ①任意一个集合的正确表示方法都是唯一的

②集合{0,-1,2,-2}与集合{-2,-1,0,2}是同一个集合

③若集合P是满足不等式0≤2x≤1的x的集合,则这一个集合是无限集

④已知a∈R,则aQ

⑤集合{x|x=2k-1,x∈Z}与集合{y|y=2s+1,s∈Z}表示的是同一个集合

解析：本题涉及集合的概念、集合的分类、集合的表示方法和元素与集合的关系等一系列问题,应注意对照所学的相应概念对各种说法进行逐一判定.

由于集合{1}可以表示为{x|x-1=0},所以①是错误的;当a为实数时,依然有可能是有理数,所以④错误;从无限集、集合的无序性来分析,可知②③是正确的;而⑤中的两个集合,它们都表示全体奇数组成的集合. 答案：②③⑤

2

15已知集合A={x|ax-2x-1=0,x∈R},若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围. 分析:本题主要考查元素与集合之间的关系,以及集合的表示法.由描述法可知集合A是关于

2

x的方程ax-2x-1=0的实数解集,首先考虑方程是不是一元二次方程. 解：当a=0时,方程只有一个根2

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1,则a=0符合题意; 2当a≠0时,则关于x的方程ax-2x-1=0是一元二次方程,由于集合A中至多有一个元素,则

2

一元二次方程ax-2x-1=0有两个相等的实数根或没有实数根,所以Δ=4+4a≤0,解得a≤-1. 综上所得,实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-1}. 16.用描述法表示下列集合:

3

(1)所有能被3整除的数组成的集合; (2)使y=

2x有意义的实数x的集合; x(3)如图1-1-1中阴影部分的点(含边界上的点)的集合M.

图1-1-1

分析:符号语言、文字语言、自然语言之间的转化是特征性质描述法的难点,研究问题时注意观察元素的性质,掌握好其相应的特征性质是解题的关键.(1)(2)的元素是数,(3)的元素是点,一般用坐标来表示,另外,要注意观察图象特点,准确地确定不等式. 解：(1){x|x=3n,n∈Z}; (2){x|x≤2且x≠0,x∈R}; (3){(x,y)|-2≤x≤我创新,我超越

17.集合A={x∈R|x=a+2b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x和集合A间的关系: (1)x=0; (2)x=

53,-1≤y≤且xy≥0}. 22121;

(3)x=

132;

(4)x=x1+x2(其中x1∈A,x2∈A);

(5)x=x1x2(其中x1∈A,x2∈A).

分析:先把x写成a+2b的形式,再观察a、b是否为整数,便可判定x是否为A中的元素. 解：(1)中,∵x=0+0×2,∴x∈A. (2)中,∵x=∴x∈A. (3)中,∵x=∴xA.

(4)中,∵x1∈A,x2∈A,可设x1=a1+b12,x2=a2+b22(a1、b1、a2、b2均为整数),则x=x1+x2=

121=2+1=1+1×2,

132=3+2,而2Z,

4

(a1+a2)+(b1+b2)2,而a1+a2∈Z,b1+b2∈Z,∴x∈A.

(5)同(4)所设,则x=x1x2=(a1+b12)(a2+b22)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2,而a1a2+2b1b2∈Z, a1b2+a2b1∈Z,∴x∈A.

18.一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家:“尊敬的先生,请你告诉我,集合是什么?”集合是不定义的概念,数学家很难回答这位渔民. 有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下鱼网,轻轻一拉,许多鱼虾在网中跳动. 数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合.”

你能理解数学家的话吗?你能有类似的现实生活中的感悟吗？

分析:通过实例了解集合含义,在了解集合含义时,要考虑集合中元素的三个性质,即确定性(给定的集合,它的元素必须是确定的)、互异性(一个给定集合中的元素是互不相同的)、无序性(集合中的元素无先后顺序之分). 解：由“许多鱼虾在网中跳动”,数学家高兴地说这就是集合,他生动地把鱼虾组成的总体称之为“集合”;“许多鱼虾在网中跳动”又恰好把每一条跳动的对象——鱼(虾)看为元素;“许多鱼虾在网中跳动”同时更重要的是符合了集合的三大特性:“许多鱼虾在网中跳动”明确了确定性——“在网中”;“许多鱼虾”但不可能有两条相同的“鱼(虾)”,满足了互异性;“跳动”恰说明了它们没有固定的顺序之分,吻合了“无序性”.数学家非常激动,因为他为集合的定义做了一个最生动的解释.

数学来源于生活又实践于生活,从现实生活中感悟,试举一例如下:

看万山红遍,层林尽染,漫江碧透,百舸争流……这是《沁园春·长沙》里的一段秋景描写,当沉浸在这种景色中时,气势宏大的景象是“山”“林”“江”“舸”等,“同一类对象汇集在一起”造就了“万山”“层林”“漫江”“百舸”的景观,在数学中我们把它们均称作集合.

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