维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年第９卷第３期 巢湖学院学报 Ｎｏ．３．，Ｖｏ１．９．２００７ 总第８４期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈａｏｈｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．８４ 电子在磁场中的能量的计算 潘桂侠１，２ （１安徽理工大学数理系，安徽淮南２３２００１） （２安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥２３００３９） 摘 要：研究正则系综中的配分函数与密度矩阵的关系，分别采用热力学统计物理中的配分 函数和量子力学中的密度矩阵与平均值原理，计算电子在磁场中的能量。当电子在磁场中的 自旋角动量的表示为二维和三维时．应用密度矩阵原理求解其能量更为简便。 关键词：配分函数；密度矩阵；平均值 中图分类号：０４６９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—２８６８（２００７｝０３－００６２—０３ １ 引言 由于电子在磁场中运动时具有自旋磁矩． 分函数［３ Ｑ为：Ｑ＝ ｅ栅，分布几率Ｐ＝孚。 所以当电子在磁场中运动时会产生附加能量。 下面推导配分函数和密度矩阵的关系。 在热力学．统计物理中．我们研究正则系综时引 入了配分函数．应用配分函数可以计算电子在 令 ｌ ）： ｌ ） 磁场中的能量［”，也即关键是求出配分函数。 ・．‘Ｐ＝但当电子的自旋角动量的表示的维数更高时． 孚 ） ｘｐ（啦 ｌ ＝ ｅ 热力学统计物理的方法已不再适用。本文首先 ｌ ｌ＝等 ｌ ） ｌ＝ １ ． 研究配分函数与密度矩阵［：】的关系．然后应用 ・・・ｒｒｐ 矩阵求配分函数．这就解决了电子的自旋角动 量的表示为高维时传统的方法求配分函数的困 难。本文先用传统的方法求配分函数从而计算 ；（ ｌｅ ｌ ｎ）＝ ；ｅ蛳（ Ｉ ） 电子在磁场中的能量：然后应用矩阵方法求配 ＝ 分函数再结合密度矩阵、平均值原理计算电子 ；ｅ蛳 在磁场中的能量。通过比较，发现应用矩阵求 ・．．Ｑ＝Ｔｒｅ－ＯＨ‘ 配分函数再结合密度矩阵、平均值原理计算电 ２．２应用配分函数计算电子在磁场中的能 子的自旋角动量的表示为高维时．电子在磁场 量 中的能量更加简单、实用。为了简便起见，本 文的研究对象是正则系综中的单电子。 设电子在外磁场茜中运动．则由磁场引起的 ２计算和讨论 哈密顿量… 为： ： ． （取京的方 ２．１配分函数和密度矩阵的关系 向平行 ），由热力学。统计物理知，电子在磁场 由热力学统计物理知识知．正则系综中的配 中的能量Ｅ为． 收稿１５１期：２００７－０３－０５ 作者简介：潘桂侠（１９７９一），女，安徽宿州人。安徽理工大学硕士研究生，研究方向：凝聚态物理。 ６２ 维普资讯 http://www.cqvip.com Ｅ＝ ＝一（音 ｎＱ） ・ 式中Ｑ为正则系综的配分函数；上面已证得密度 矩阵ｐ： １ ｅ舢，Ｑ＝Ｔｒｅ＇￣ 因此要计算能量Ｅ，关 键要求出Ｑ，即求ｅ 。 ・． １．；＝ｅ 南＝∑÷ ）＿， ：∑｝ 儆Ｊ： Ｊ『＋∑丁，Ｅ奇数Ｊ：１ ｊ５｝）＿， ＝Ｊ『ｃｏｓｈ（ ８Ｂ）＋ｏｒ ｚｓｉｎｈ（ Ｂ） ・．．Ｑ＝Ｔｒｅ ＝Ｔｒ［］ｃｏｓｈ（（ｌｆｔＸＢＢ）＋ｄｒ ｚ ｓｉｎｈ（ｌｆｔｚｓＢ）］ ＝Ｔｒ［，ｃｏｓｈ（ ８Ｂ）ｌ＋ｒｄａ ｚ ｓｉｎｈ ８ ）】 ＝２ｃｏｓｈ（（ 口 ）＝ ・ 一 ・・・Ｅ＝ｎ ＝一（音 ｎＱ） 音 （ ＝－Ｉ．ｔｎＢ ＝－－ＩｚｎＢ ｔａｎｈ（ 上面推导配分函数ｑ＝ｅ－￣ 时主要利用了数 学知识及其 的特性，但是如果电子的自旋角 动量的表示为高维时。此方法就不再适用。这时如 果应用矩阵求配分函数再结合密度矩阵、平均值 原理计算电子的自旋角动量的表示为高维时的 电子在磁场中的能量会更加简便。下面应用此方 法分别计算电子的自旋角动量的表示为二维以 及三维时电子在磁场中的能量。 ２．３电子的自旋角动量的表示为二维时．电 子在磁场中的能量的计算 由量子力学知，哈密顿量与能量是对应的，因 此下面我们计算电子在磁场中的哈密顿量。因 Ｈ‘＝ ： ・． ＝ ： ｚ（取 的方向平行 。（取 的方向平行 。），本文 规定ｌ 』）－ ・・ｏ‘ｒ．Ｚ ｌ Ｊｆ）＝ｌ Ｊｆ）＝【 】，ｏ‘ｒＺ ｌ ＞＝一ｌ ）＝一【三】． Ｈ ｌ Ｔ）＝ ｌＴ）＝ Ｉ Ｔ） Ｈ Ｉ ）＝ Ｉ）＝ Ｉ ） ・．．（Ｔ ｌ。 ｌ Ｔ）＝（Ｔ ｌ ｅ ・肋 ｌ Ｔ）＝ （Ｔ Ｉ Ｔ （Ｔ ｌ。 ｌ ）＝：ｅ一 （Ｔ Ｉ Ｔ）＝０ （ ｌ。 ｌ Ｔ）＝：ｅ （Ｔ Ｉ ）＝０ （ ｌ。 Ｉ ）＝：ｅ （ Ｉ ・．．Ｔｒｅ－￣＂ ＝Ｔｒ 。 ］ ＝（Ｔ ｌ。 ．１；ｌ Ｔ）＋＜ ｌ。 ．１；ｌ ） ・‘．Ｑ＝Ｔｒｅ巾 ＝ｅ ．丑＋ｅ． ，ｐ＝ 。巾 ・．．密度矩阵ｐ为： （。 。一曼 ） 。．．当日＝ ｚ时， ＝茄ｎ 三 。 ０ ） ］ 由 的形式可知， 为对角矩阵［６］其三个本征 态分别为 ］，曙］， ］ 所以日有三个本怔态：令 ・ ＝［ ］，・。 ＝Ｃ曼］， 卜 ＝［ 毫］， ６３ 维普资讯 http://www.cqvip.com ｒ（１ ｌ （１ｌｅ ｌ０） ｅ ． Ｔｒｅ＇￣ ＝州（０ ｌ （０ｌｅ ｌ０） ｅ １ （一 ｌｅ 届 ）（－１。 ｌ０） ｎ Ｓ ｌ０ ¨：ｎ 、厂● 厂● ：ｎ・ｌＩ ０ ０ｅ ］ｅ 兰０Ｊ｝ ＝２ ｅ 届・口＋ｅ一届 ・口 ：７－ｒ ０ｅ 。－＝、］三，三 ＝０ ０ ：０ ０ ，０ ０ ＿＝三 ＝］三 ＝＝＝ 、．．．－— ：：： ０ ０ 二＝、０ ０ 厂． Ｓ ｚ ｌ一１ ． ＝２ｅ 肌口，Ｐ＝ ｅ ＾ ｅ 九 ： 、 ¨ ｅ ＾ Ｈ ＾ ・．．（１ ｌｅ币 ｌ １）＝（１ Ｉ。 ｚ Ｉ １）＝ｅ （１Ｉ１）＝ｅ （１ ｌｅ币 ｌ０）＝＝ｅ舢 （１１０）＝０， （１ ｌｅ币 ｌ一１）＝＝ｅ一 （１Ｉ一１）：０ 密 —一．————————— ———一 ２ｅ ‘．＋ｅ一 －＋ ‘Ⅳ＝－ｇ￣ｓ・Ｂ＝－－ｌｘＢＢＳ ・．．（０ｌ。币 ｌ １）＝＝ｅ （０Ｉ１）－０， 矩 Ｌ 阵，＝＝＝二＝＝二Ｑ ＝＝、 （０ ｌ。币 ｌ ０）＝：ｅ （０１０）＝：ｅ （０ｌ。币 Ｉ一１）＝：ｅ一 （０Ｉ一１）＝０， （－１ ｌ。币 ｌ １）＝：ｅ （一１ １）＝０ （－１ ｌ。币 ｌ０）＝：ｅ （一１１０）＝０， （－１ ｌ。币 Ｉ一１）＝＝ｅ （一１Ｉ一１）＝：ｅ 口 Ｐ 、，、，１ 、，， （Ⅳ）＝（－－ｇ￣ｓ ｚ）： （Ｓ ｚ）＝．１Ｌ （Ｓ ｚＰ） ＝ ＝ ・ ， １ ０ １ ， 一 ０ ０ ｅ ０ ０ ０ 嘉 、 日 同理，应用矩阵的方法求配分函数，然后结 ０ ０■ 合密度矩阵、平均值原理，可以计算电子的自旋 ， ＼、●●●●●●＾、、 ０ ｅ 故有 ０ ００ ０ 角动量的表示为更高维时电子在磁场中的能量。 日 ｅ ＾Ⅳ ＾Ⅳ ．栅 ， 『１１汪志诚．热力学．统计物理学『Ｍ１．第二版．北京：高等教育出版社，２００３． 咖 ０ ０ 日 、，、， ， 参考文献： 佴 ０ 日 ０ 一 ｅ 、●●●●●，，●●＿’、 一 一 ［２】龙桂鲁．量子力学中的密度矩阵与具有相同密度矩阵的系综的可区分性［Ｊ】．原子核物理评论，２００５， ＼、●●●●●●＾、、 ２２（４）：３５４—３５７． 『３１高执棣，郭国霖．统计热力学导论『Ｍ１．北京：北京大学出版社，２００４． 『４１张启仁．统计力学『Ｍ１．北京：北京大学出版社，２００４． ［５】曾谨言．量子力学（卷二）［Ｍ】．北京：科学出版社，２００１． ［６】曾谨言．量子力学（卷一）［Ｍ】．北京：科学出版社，２０００． Ｅｌｅｃｔｒｏｎ Ｅｎｅｒｇｙ Ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ Ｉｎ Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｆｉｅｌｄ ＰＡＮ Ｇｕｉ—ｘｉａ ， ＼、●●●●●● ／ （１ Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｕａｉｎａｎ Ａｎｈｕｉ ２３２００１） （２ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｍａｔｅｒｉａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ Ａｎｈｕｉ ２３００３９） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｆｔｅｒ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｓｔｉｂｕｔｒｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ｍａｔｉｒｘ，ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｉｎ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｍａｔｉｘ ａｖｅｒａｇｅ ｖａｒｌｕｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ａｓ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｓｐｉｎ ａｎｇｕｌａｒ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｓ ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｏｒ ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｓｉｍｐｌｉｅｒ ｂｙ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｄｅｎｓｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ａｖｅｒａｇｅ ｖａｌｕｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｄｅｎｓｉｔｙ ｍａｔｉｒｘ；ａｖｅｒａｇｅ ｖａｌｕｅ 责任编辑：宏彬