垂径定理和圆周角圆心角

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD 二、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

EACOADOECBDB只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD 三、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴AOB2ACB 2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角 ∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，∵OCOAOB

BBAOFDCBCDCBOABOACOACOA ∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 四、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴CBAD180 BD180 DAEC

BAECD 垂径定理

例题1、 基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（ ）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理

1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深

度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙O中，弦ABCD，且ABCD，垂足为H，OEAB于E，OFCD于F.

（1）求证：四边形OEHF是正方形. （2）若CH3，DH9，求圆心O到弦AB和CD的距离.

4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是

例题3、度数问题

的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

AEBDOCF121、已知：在⊙O中，弦AB12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径.

2、已知：⊙O的半径OA1，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

C

E A B O D

例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径

22分别为a,b.求证：ADBDab.

圆周角和圆心角

考点一：圆心角，弧，弦的位置关系

1、下列语句中正确的是（ ）

A、相等的圆心角所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、 长度相等的两条弧是等弧 D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

2、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ）

3、如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是

考点二：圆周角定理

∠A=60°，以BC为直径的⊙O分别交AB，连接DE，已知DE=EC．下1、如图，BC为定长，AC于点D，E．△ABC中，

列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（ ）

2、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人

工湖的直径AD为（ ）

3、如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为 AN^的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ） 如图AB是⊙O的直径，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，4、

则∠FDG的度数为（ ）

考点三：内接圆的四边形的性质

1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）

2、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD= 度．

∠BAD=60°，∠BCA=15°，3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，

则AE=