牛吃草问题

牛吃草问题田红亮1，戚江艳2，田戚可人3（1.三峡大学机械与动力学院，湖北宜昌443002；2.三峡大学学生工作部教育管理中心，湖北宜昌443002；3.湖北省宜昌市西陵区葛洲坝实验小学，湖北宜昌443002）摘要：在牛吃草问题中，如果草是固定不变的，依据题目第一个条件算出每头牛每周吃多少格尔的草就可以解决问题，但在牛吃草问题中草的总量是在不断变化的，每时、每天或每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多，这就给我们解题带来了困难。牛吃草问题有方程解法和算术解法。运用解牛吃草问题的思想解决其他应用问题。

关键词：牛顿；牛吃草；方程；算术中图分类号：G2.0

文献标志码：A

文章编号：1674-9324（2016）03-0151-02

一、典型例题1供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果饲养25头17世纪英国的科学巨匠牛顿在他著的《普通算牛，多少天可以把牧场上的草吃完？术》一书中曾提出了一个有趣的数学问题“：12头牛4解：设这一片青草a平方米，每天匀速生长b平方周吃草31米，每头牛每天吃c平方米，饲养25头牛d天可以把牧3格尔（格尔———面积单位），同样的牧草21场上的草吃完。则头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草，多少头牛18周吃a+20b=10×20c=200c（8）完？”这个问题被人们称为牛顿问题，也叫牛吃草问a+10b=15×10c=150c（9）题。式（8）-式（9）得解：设1格尔的草每周均匀地生长x格尔，每头牛10b=50c或b=5c（10）每周吃y格尔的草，24格尔牧草z头牛18周吃完。则将式（10）代入式（9）得31a+10×5c=150c或a=100c（11）3+313×4x=12×4y或1+4x=14.4y（1）a+db=25dc（12）10+10×9x=21×9y或1+9x=18.9y（2）将式（11）、式（10）代入式（12）得式（2）-式（1）得100c+d5c=25dc或d=5（13）5x=4.5y或x=0.9y（3）三、典型例题3将式（3）代入式（1）得有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃1010.8y=1或y=1天。假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了10.8（4）4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，原有将式（4）代入式（3）得羊多少只？x=0.9110.8=12（5）解：设这一片草地a平方米，草每天匀速生长b平24+24×18x=z18y或4（1+18x）=3yz（6）方米，每只羊每天吃c平方米，原有羊d只。则将式（5）、式（4）代入式（6）得a+20b=8×20c=160c（14）1a+10b=14×10c=140c（15）3.6z=10或z=36（7）式（14）-式（15）得二、典型例题210b=20c或b=2c（16）牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可将式（16）代入式（15）得基金项目：三峡大学2013年高等教育科学研究项目

（1322）-151-

.com.cn. All Rights Reserved.2016年1月教育教学论坛Jan.2016第3期EDUCATIONTEACHINGFORUMNO.3a+10×2c=140c或a=120c（17）120份草够24头牛吃120÷20=6天。a+6b=d4c+6×2c+d2c（18）六、典型例题6将式（17）、式（16）代入式（18）得一个长方体容器从里面量，底面是一个边长为60120c+6×2c=12c+d6c或d=20（19）厘米的正方形。容器里直立着一个长方体铁块，且铁四、典型例题4块不完全浸入水中。现把铁块垂直向上提起16厘米经测算，地球上资源可供100亿人生活100年，或（仍有部分浸在水中），容器内水面下降了2厘米。求铁可供80亿人生活300年。假设地球上的新生长资源的块的底面积。增长速度是一定的，为使人类能够不断繁衍，资源不致减少，那么地球最多能养活多少亿人？解：设地球上已有的资源a立方米，每年新生长资源b立方米，每亿人每年消耗资源c立方米，地球最多能养活d亿人不断繁衍生活很多年（如e年）。则a+100b=100×100c=10000c（20）a+300b=80×300c=24000c（21）式（21）-式（20）得200b=14000c或b=70c（22）将式（22）代入式（20）得a+100×70c=10000c或a=3000c（23）图1铁块被垂直向上提起前后的位置

eb=dec或b=dc（24）将式（22）代入式（24）得正确方程解法1。铁块被垂直向上提起之前、之后d=70（25）的位置见图1，铁块的底面积为s平方厘米。设铁块被五、典型例题5垂直向上提起之前，水面的高度为h厘米，此时长方体小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速容器中水的体积为60×60h-sh立方厘米。铁块被垂直生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供12头牛吃15向上提起之后，铁块底部到容器底部的距离为16厘天。如果小军家养了24头牛，可以吃几天？米，水面的高度为h-2厘米，此时长方体容器中水的体方程解法1。设这一片牧场上长满了草a平方米，积为60×60（h-2）-s（h-18）立方厘米。故每天草匀速生长b平方米，每头牛每天吃c平方米，2460×60h-sh=60×60（h-2）-s（h-18）（32）头牛可以吃d天。则s=400（33）a+20b=10×20c=200c（26）正确算术解法2。首先假设长方体铁块不动，用瓢a+15b=12×15c=180c（27）从长方体容器中舀出来一部分水，使容器内水面下降式（26）-式（27）得2厘米，此时舀出来的水的体积为（60×60-s）2。然后5b=20c或b=4c（28）假设容器内剩下的水不动，把铁块垂直向上提起16厘将式（28）代入式（27）得米，形成空隙长方体ABCD，空隙长方体ABCD的体积a+15×4c=180c或a=120c（29）为s16。最后将舀出来的水放在空隙长方体ABCD中。a+db=24dc（30）故将式（29）、式（28）代入式（30）得（60×60-s）2=s16或s=400（34）120c+d4c=24dc或d=6（31）错误算术解法3[1]。容器内水面下降的体积为60×算术解法2。草每天增长相同的份数。假设一头牛60×2=7200立方厘米，铁块的底面积为7200÷16=450一天吃1份草，则每天长草量：（10×20-12×15）÷平方厘米。参考文献：

（20-15）=（200-180）÷5=4份。原有草量：10×20-4×[1]《长江寒暑假作业》

编委会.数学5年级[M].第2版.武汉：长20=200-80=120份。24头牛每天可吃24份草，但每天增江出版传媒崇文书局，2015：41，62.

长4份草，所以相当于每天减少20份草。所以原来的-152-

.com.cn. All Rights Reserved.