辽宁省沈阳市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)(解析版)

2018年沈阳市高中一年级教学质量监测

数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A.

B.

， C.

，则 D.

（ ）

【答案】D 【解析】因

2. 在空间直角坐标系A. C. 【答案】C 【解析】关于平面

对称的点坐标相反，另两个坐标相同，因此结论为

上单调递增的是（ ）

．

B. D.

，

中，点

，故

关于平面

，应选答案D。 的对称点是（ ）

3. 下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在A. C. 【答案】C 【解析】上

是偶函数，

是减函数，

，其中

是奇函数，是增函数，故选C．

B. D.

和既不是奇函数也不是偶函数，在

4. 已知映射，已知的象为1，则的象为（ ）

A. 1或2 B. 1和2

C. 2 D. 无法确定 【答案】A

【解析】由映射的定义，的象是1或2，故选A．

点睛：从集合A到集合B的映射的定义，对集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫集合A到B的映射，这个定义中要注意一是集合A中每一个元素，即集合A中不能有一个元素在B中没有元素与它对应，二是“唯一”，即集合B中有且只有一个元素与A中的元素对应，不能有两个，但是集合A可以是多个元素对应于集合B中同一个元素，集合B中也可能存在元素没有集合A中的元素与之对应．正确概念是我们解题的基础．

5. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A. 7B. 9C. 11D. 13

【答案】B

【解析】该几何体是一个圆上面挖掉一个半球，S=2π×3+π×12+6. 垂直于直线A. B. C. D. 【答案】B

【解析】设所求直线方程为3x+y+c=0，则d=

10. ，解得d=±

且与圆

=9π.

相切的直线的方程是（ ）

所以所求直线方程为3x+y+10=0或3x+y－10=0. 7.

为空间中不重合的两条直线，

；②①若③

A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ③④ 【答案】A

【解析】由线面垂直的性质定理知①正确；②中直线可能在平面内，故②错误；//，

，则有

，所以

，③正确；④中

与

，则内一定有直线

；④

上述说法正确的是（ ）

为空间中不重合的两个平面，则

；

可能平行，相交，异面，故④错误，故选A． 之间的距离是，则

（ ）

8. 若两平行直线A. 0 B. 1 C. -2 D. -1 【答案】C

【解析】∵l1∥l2，∴n=-4，l2方程可化为为x+2y－3=0. 又由d=解得m=2或－8（舍去），∴m+n=-2.

点睛：两平行线间距离公式是对两平行线方程分别为

，

，

，则距离为

，要注意两直线方程中

9. （ ）

的图像是端点为

的系数要分别相等，否则不好应用此公式求距离．

和

两点的两条射线，如图所示，则

的解集为

且分别过

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】作出g(x)=图象，它与f(x)的图象交点为和，由图象可得．

10. 函数A. C. 【答案】D 【解析】

，设 B. D.

，则有（ ）

>1，<0，0<<1，∴b又在x∈（-∞，1）上是减函数，∴f(c)< f(b)<0，而f(a)>0，∴f(c)< f(b)< f(a) .

点睛：在比较幂和对数值的大小时，一般化为同底数的幂（利用指数函数性质）或同底数对数（利用对数函数性质），有时也可能化为同指数的幂（利用幂函数性质）比较大小，在不能这样转化时，可借助于中间值比较，如0或1等．把它们与中间值比较后可得出它们的大小．

11. 棱长为1的正方体可以在一个棱长为的正四面体的内部任意地转动，则的最小值为（ ） A. C.

B. D.

【答案】A

【解析】由题意可知正方体的外接球为正四面体的内切球时a最小， 此时R=

，

.

，使得

时，

12. 定义：对于一个定义域为的函数，若存在两条距离为的直线和恒有，则称在内有一个宽度为的通道。下列函数：

①③

；②

；④

；

.

其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D

【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比1大的通道都存在.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分,把正确的答案填在答题卡中的横线上.

13. 函数【答案】

的图象必过定点___________。

【解析】f(x)=k(x－1)－ax－1，x=1时，y=f(x)=-1，∴图象必过定点（1，－1）. 14. 已知水平放置的原

按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中

的面积为___________。

，

，则

【答案】2

【解析】∵∠B'A'C'=90°, B'O'=C'O'=1，. ∴A'O'=1， ∴原△ABC的高为2，△ABC面积为

.

．

点睛：由斜二测画法知，设直观图的面积为，原图形面积为，则15. 已知函数【答案】【解析】∵

∴0<3－x<1，解得2在x∈（0,+∞）上是减函数， f(1)=0， ，则满足

的的取值范围是___________.

.......

................. 【答案】

，

【解析】函数g(x)=lnx的反函数为

若函数f(x)的图象上存在一点P，函数g(x)=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，则函数g(x)=lnx的反函数图象与f(x)图象有交点， 即

∵x∈R，∴∴

在x∈R上有解，

即

.

，

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知集合

（1）求（2）设取值范围。

【答案】（1）【解析】试题分析：

；

，关于的不等式的解集为。

，若集合中只有两个元素属于集合，求的

或

；（2）

.

（1）解分式不等式得集合A，解绝对值不等式得集合B，由集合的补运算和交运算的定义可得结论； ，而集合Q中最大与最小值差为2，因此只有2，3是集合Q中的（2）由（1）知集合P＝｛－2，2，3｝

元素，从而得关于m的不等式，可得m的范围． 试题解析： （1）

或

(2)∵

可知P中只可能元素2，3属于Q

解得

与

相较于点，直线

分别为点和点，且点的坐标为

.

，求

.

的外接圆的标准方程。

18. 已知直线

（1）若点在直线上，求的值； （2）若直线交直线【答案】（1）

；（2）

【解析】试题分析： （1）求出两直线

的交点P坐标，代入方程可得；

方程联立可解得A点坐标，可设圆的一般方程，代入三点坐标后可

（2）把B坐标代入方程可得，由

解得其中的参数，最后再配方可得标准方程． 试题解析： (1)

又P在直线l3上，

，

(2) 在l3上，

，

联立l3,l1得：

22

设△PAB的外接圆方程为x+y+Dx+Ey+F=0

把P(0，1)，A(1，0)，B(3，2)代入得：

△PAB的外接圆方程为x2+y2

x+2y

=0，即(x

)2+(y+1)2=5

点睛：第（2）题中求圆的方程，可不设圆方程的一般式，用以下方法求解： 由于l1⊥l2，所以PA

PB

△PAB的外接圆是以AB为直径的圆 外接圆方程为：(x整理后得：(x

) (x

)+y(y+1) =0

)2+(y+1)2=5

中，为侧棱；

；

,若质点从点沿平面

的体积。

与平面

的表 面运动到点的最短路径恰好经过点，求的中点， 连接

相交于点。

19. 如图，已知在正四棱锥

（1）证明：（2）证明：（3）设正四棱锥

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】试题分析：

.

（1）由中位线定理可得线线平面，从而有线面平行； （2）正四棱锥中，底面是正方形，因此有AC与平面PBD垂直，从而得面面垂直； （3）把

与

沿PD摊平，由A、M、C共线，因此新的平面图形是平行四边形，从而为菱形，M

，又PO是正四棱锥的高，从而有PO⊥AC，这样就有

到底面ABCD的距离为原正四棱锥高PO的一半，计算可得体积． 试题解析：

(1) 证明：连接OM，

∵O，M分别为BD，PD的中点， ∴在△PBD中，OM//PB， 又PB面ACM，OM

面ACM，

∴ PB//面ACM (2) 证明：连接PO.

∵在正四棱锥中，PA=PC，O为AC的中点， ∴PO⊥AC，BD⊥AC， 又PO∩BD=O，又 AC

AC⊥平面PBD，

平面ACM，∴平面ACM ⊥平面PBD

(3) 如图，把△PAD与 △PCD沿PD展开成平面四边形PADC1 由题意可知A，M，C1三点共线， ∵△PAD≌△PCD, M为PD的中点， ∴AM=MC1，即M为AC1中点， ∴平面四边形PADC1为平行四边形， 又PA= PC, ∴平面四边形PADC1为菱形， ∴正四棱锥的侧棱长为2

∵PO⊥AC，PO⊥BD，PO ⊥面ABCD，∴PO为正四棱锥的高

20. 为迎接党的“十九大”胜利召开与响应国家交给的“提速降费”任务，某市移动公司欲提供新的资费套餐（资费包含手机月租费、手机拨打电话费与家庭宽带上网费）。其中一组套餐变更如下：

原方案资费 手机月租手机拨打电话 家庭宽带上网费（50M） 费 18元/月

新方案资费 手机月租费 58元/月

（1）客户甲（只有一个手机号和一个家庭宽带上网号）欲从原方案改成新方案，设其每月手机通话时间为分钟（），费用原方案每月资费-新方案每月资费，写出关于的函数关系式；

（2）经过统计，移动公司发现，选这组套餐的客户平均月通话时间分钟，为能起到降费作用，求的取值范围。

【答案】（1）【解析】试题分析：

（1）关键是求出原资费和新资费，原资费为68＋0.2x，新资费是分段函数，x≤100时，为58，当x＞100时，为

，相减可得结论；

；（2）

.

手机拨打电话 前100分钟免费， 超过部分元/分钟（>0.2） 家庭宽带上网费（50M） 免费 0.2元/分钟 50元/月 （2）只要（1）中的y＞0，则说明节省资费，列出不等式可得，注意当100＜x≤400时，函数y为减函数，因此在x=400时取最小值，由此最小值＞0，可解得范围． 试题解析： （1）i)当 ii) 当

，，

综上所述（未写

扣一分）

恒成立，

，，因为

，

，

为减函数

所以当

时，

（2）由题意，显然，当当

解得从而

。

21. 已知圆的方程为：

（1）求圆的圆心所在直线方程一般式； （2）若直线（3）已知定点【答案】（1）

被圆截得弦长为，试求实数的值；

，且点是圆上两动点，当可取得最大值为；（2）

或

；（3）

.

时，求满足条件的实数的值。

【解析】试题分析：

（1）配方得圆的标准方程，可得圆心坐标满足

，消去可得圆心所在直线方程；

（2）由弦长、半径结合勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，两者相等可解得m；

（3）本题关键是∠APB何时最大？由于P点固定，因此当PA，PB是圆的两切线时∠APB最大，由此角是90°，这样PACB是正方形，可得CP＝试题解析：

（1）由已知圆C的方程为：所以圆心为

，

，由两点间距离公式可求得m．

所以圆心在直线方程为（2）由已知r=2，又弦长为所以圆心到直线距离为所以

解得m=-1或m=3

（3）当PA、PB为圆的两条切线时，∠APB取最大值. 此时∠APB=90°，又CA⊥PA,CB⊥PB,CA=CB 所以四边形PACB为正方形，则∣CP∣=即P到圆心C的距离=解得

，函数

。

22. 已知函数

（1）求函数（2）若不等式

的值域；

对任意实数

恒成立，试求实数的取值范围。 .

【答案】（1）[－4,﹢∞)；（2）【解析】试题分析： 试题解析：

即

的值域为[－4,﹢∞).

对任意实数

恒成立

（2）因为不等式所以 设则当∴即∴即解得

时，

=

，∵

，∴

，

，

∴实数x的取值范围为：