调和点列性质

来源：星星旅游

调和点列研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中着名的定理。后来在19世纪，又经过.彭赛列、J.施泰纳、施陶特、.麦比乌斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。定义：直线上依次四点A、B、C、D满足ABAD，则称A、B、C、DBCDC四点构成调和点列。其中A、C和B、D称为调和共轭。

性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆

O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和。

证明:A、D、E、F四点调和又而

ADAFADDE  ① DEFEAFFEAADADACBDDC **AFABAFBFCFDESVBDCBD*CD*sinBDCBDCD FESVBFCBF*FC*sinBFCBFFCDE故①成立。得证！

推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调

BDBCFACEF和点列。证明：暂略。

性质2：A、B、C、D调和112 ABADAC证明：

112112bc而 ABADACaa+b+caba(ab)(ab)(abc) bcaabcaabcbc

即证。

推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则OA2OBOD.

反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且OAOBOD，则A、B、C、D四点调和。

2性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AMMC

则必有MC平分BMD，MA外角平分BMD. 这是调和点列应用中相当重要的一个性质。

ABCD

AA'BCC'DM证明：反证法。

反设MC不平分BMD，作MC’平分角BMD交BD与C’，MA’外角平分角BMD交DB延长线与A’ ，则MC'MA'

BC'C'DBA'有外角平分线定理，A'DBA'BC'所以② A'DC'D由内角平分线定理，

BM MDBM MD由A、B、C、D成调和点列知注意到

BCBA CDADBC'BCBC'BC成立 C'DCDBDBDBA'BABA'BA成立 A'DADBDBDBA'BABCBC'所以与②矛盾！ BDBDBDBD所以MC平分BMD，MA外角平分BMD

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