九年级数学 圆的总复习 试题

北师大版初三数学 圆的总复习

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 一. 教学内容： 1. 圆锥的侧面积 2. 圆的总复习

二. 教学目的：

1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题 2. 灵敏运用本章的知识解决综合问题

三. 教学重点、难点：

1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题 2. 灵敏运用本章的知识解决综合问题

四. 课堂教学：

知识要点：

1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl。

2. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 3. 本章的知识机构图

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

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丰富的情境（数学的和现实的） 圆 直线和圆 的位置关系 圆和圆的 位置关系 概 念 对称性 圆周角与圆心角的关系 弧长、扇形面积、圆锥的侧面积 切线的性质 切线的判定 切线的作图 垂径定理 圆心角、弧、弦之间关系定理

【典型例题】

例1. 圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，那么它的侧面积为 cm2〔结果保存π〕。 答案：8π

例2. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，那么该圆锥的底面半径为 。

答案：2

例3. 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线l上。依次以B、C′、D″为中心将

矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为 AA′ 、 A′A″ 、A″A″ ，其中AA′ 交CD于点P。

〔1〕求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长； 〔2〕求 AA′ 的长；

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〔3〕求图中的 〔4〕求图中的 解：〔1〕A′′C局部的面积S； 局部的面积T。

2215cm

×2πcm 〔2〕AA′ ＝180。

90π90π(5)25Sπcm23604〔3〕。

〔4〕连接BP，

在Rt△BCP中，BC＝1，BP＝2，

∴∠BPC30°，CP3.∴∠ABP30°.2∴TS扇形ABPS△PBC30π×23（π3）cm2.360232

例4. 如以下图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝22。过D、E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。

A E M Q F B G H O C N D P

〔1〕求tan∠ADE的值；

〔2〕点G是线段AD上的一个动点〔不运动至点A、D〕，GH⊥DE，垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，恳求出y与x之间的函数关系式；

〔3〕假如AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径。

解：〔1〕∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，AE＝22

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∴tan∠ADE=AE222AD84

〔2〕∵DEAD2AE282(22)62，

2∴sin∠ADEAE221，cos∠ADEAD822ED623ED623

在Rt△DGH中，∵GD＝x，

GHDGsinADE1x3

∴DH=DG·cos∠ADE=22x3，

22x12x2∴S△DGH1DH·GH1·x··22339

∴S△AED1AD·AE1×8×228222

22∴yS△AED－S△DGH82－x9

y22x829。

即y与x之间的函数关系式是

〔3〕满足条件的⊙O有4个。

以⊙O在AB的左侧与AB相切为例，求⊙O半径如下： ∵AD∥MN， ∴△AED∽△BEF。 ∴∠PFN＝∠EDA。

1∴sin∠PEN＝sin∠EDA＝3。

∵AE＝2BE,

∴△AED与△BEF的相似比为2∶1。

AD2，FB41∴FB。

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过点O作OI⊥PQ，垂足为I，设⊙O的半径为r，那么FO＝4－r。

∵sin∠PFN=OIr1FO4r3，

∴r＝1。

〔满足条件的⊙O还有：⊙O在AB的右侧与AB相切，这时r＝2；⊙O在CD的左侧与CD相切，这时r＝3；⊙O在CD的右侧与CD相切，这时r＝6〕

例5. ⊙O的半径为1，以O为原点，建立如下图的直角坐标系。有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为〔13，0〕，顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。

〔1〕当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？假如相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；假如不相切，也请说明理由。

〔2〕设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。

解：〔1〕CD与⊙O相切。

因为A、D、O在一直线上，∠ADC＝90°， 所以∠CDO＝90°，所以CD是⊙O的切线。 CD与⊙O相切时，有两种情况： ①切点在第二象限时〔如图①〕，

设正方形ABCD的边长为a，那么a2＋〔a＋1〕2＝13.

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解得a＝2，或者a＝－3〔舍去〕。 过点D作DE⊥OB于E， 那么Rt△ODE∽Rt△OBA，

OD所以OBDEBAOEOA，所以DE21313。 31313，21313〕，

OE31313，所以点D1的坐标是〔

y2x3。 所以OD所在直线对应的函数表达式为

图①

②切点在第四象限时〔如图②〕，

设正方形ABCD的边长为b，那么b2＋〔b－1〕2＝13， 解得b＝－2〔舍去〕，或者b＝3。

过点D作DF⊥OB于F，那么Rt△ODF∽Rt△OBA，

图②

所以ODOFDF2333，所以OF，DFOBOABA1313

（213313，）1313

所以点D2的坐标是

所以OD所在直线对应的函数表达式为

y3x2

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图 ③

〔2〕如图③，过点D作DGOB于G，连接BD、OD，那么

BD2BG2DG2(BOOG)2OD2OG2(13x)21x214213x

所以

SAB21BD2713x2。

因为－1≤x≤1，所以S的最大值为713，S的最小值为713。

例6. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间是为t〔s〕，当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm。

A D O→ E C B

〔1〕当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

〔2〕当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，假如半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠局部，求重叠局部的面积。

解：〔1〕①如图1，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，所以AC与半圆O所在的

t21（s）2圆相切。此时点O运动了2cm，所求运动时间是为：。

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A D O C（E） 图1 B

②如图2，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F。 在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12cm，那么OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB

与半圆O所在的圆相切。此时点O运动了8cm，所求运动时间是为

t84（s）2。

图 2

③如图3，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O所在的圆相

切，此时点O运动了14cm，所求运动时间是为：

t147（s）2。

图 3

④如图4，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q。 在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，

那么OQ＝6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，

所以，直线AB与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了32cm，所求运动时间是为：

t3216（s）2。

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因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交。所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切。

图4

〔2〕当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠局部的只有如图2与图3所示的两种情形。

①如图2，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠局部是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠局部面积为：

S扇形EOM1×629（cm2）4。

②如图3，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H。那么PH＝BH。在Rt△OBH中。

∠OBH＝30°，OB＝6cm，那么OH＝3cm，

BH33cm，BP63cm

SPOB1×63×393（cm2）2，

又因为DOP2DBP60°，

所以

S扇形DOP1×626（cm2）6。

所求重叠局部面积为：

SPOBS扇形DOP（936）（cm2）。

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【模拟试题】〔答题时间是：60分钟〕

一、选择题

1. 以下命题中的真命题是〔 〕

A. 三点确定一个圆

B. 平分弦的直径垂直弦

D. 在同圆或者等圆中等弧所对的圆周角相等

C. 圆周角等于圆心角的一半

2. 如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上的一动点，那么线段OM的长的取值范围是〔 〕

A. 3OM5 C. 3OM5

B. 4OM5 D. 4OM5

O A M B

3. 如图，ΔABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝2，⊙A与BC相切，那么图中阴影局部的面积为〔 〕

A.

12

B.

13

C.

14

D.

15

1VBVA3 4. 如图，点B在圆锥母线VA上，且，过点B作平行于底面的平面截得一个小圆锥，假

设小圆锥的侧面积为S1，原圆锥的侧面积为S，那么以下判断中正确的选项是〔 〕

1S1S3 A. 1S1S4 B. 1S1S6 C.

1S1S9 D.

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V B A

5. 一机械零件的横截面如下图，作⊙O1的弦AB与⊙O2相切，且AB//O1O2，假如AB＝10cm，那么以下说法正确的选项是〔 〕

A. 阴影面积为100cm C. 阴影面积为50cm

22

B. 阴影面积为25cm

D. 因缺少数据，阴影面积无法计算

2

二、填空题：

1. 在ΔABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是ΔABC的外心，如今以O为圆心，分别以2、、3、为半径作⊙O，那么点C与⊙O的位置关系分别是_____________．

2. 如图在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为P，∠BAD＝30°，那么∠AOC的度数是________度．

A O C P B D

3. 在RtΔABC，斜边AB＝13cm，BC＝12cm，以AB的中点O为圆心，为半径画圆，那么直线BC和⊙O的位置关系是________________．

4. 把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的局部做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是___________．

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5. 如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1叫做“正方形的渐开线〞，其中弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按A、B、C、D循环，它依次连接，取AB＝1，那么曲线DA1B1C1D1的长是___________．

三、解答题：

1. ：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD，请你仔细观察后答复：图中一共有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明你的理由．

2. 如图，BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为弧BF的中点，BF交AD于E，且BEEF32，AD＝6，

〔1〕求证：AE＝BE； 〔2〕求DE的长； 〔3〕求BD的长．

3. 如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD

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切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD＝CE；

〔1〕假设将图〔a〕中的半径OB所在的直线向上平移交OA于F，交⊙O于B'，其他条件不变〔如

图〔b〕〕，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？

A A E B C F O D D

E B' C O （a） （b）

〔2〕假设将图〔a〕中的半径OB所在直线向上平行挪动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与

CF的交点，其他条件不变〔如图〔c〕〕，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？

4. 如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上运动〔点O、B除外〕，CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED＝EP．

〔1〕求证：ED是⊙O的切线；

〔2〕当OC＝2，ED＝2时，求∠E的正切值tanE和图中阴影局部的面积．

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一、 1. D 二、

1.点c在圆外，点c在圆上，点c在圆内 2. 120° 3. 相切 4. 96πcm 5. 5π 三、

1. 解：图中有两个等腰三角形，分别是ΔOAB、ΔOCD．

理由：〔1〕∵OA＝OB，∴ΔOAB是等腰三角形．

〔2〕∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵AC＝BD，∴ΔOAC≌ΔOBD．∴OC＝OD．∴ΔOCD是等

2 2. B 3. C 4. D 5. B

腰三角形．

2. 〔1〕连接AF，因A为弧BF的中点，∴∠ABE＝∠AFB，又∠AFB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB．∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，AH⊥BC，∴∠BAE＝∠ACB，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE．

〔2〕设DE＝x〔x>0〕，由AD＝6，BE×EF＝32，AE×EH＝BE×EF，有(6x)(6x)＝32，由此

解得x＝2，即DE的长为2．

22〔3〕由〔1〕、〔2〕有：BE＝AE＝6－2＝4．在RtΔBDE中，BD4223．

3. 〔1〕证明：连接OD，那么OD⊥CD，∴∠CDE＋∠ODA＝90°．

在RtΔAOE中，∠AEO＋∠A＝90°，

在⊙O中，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠CDE＝∠AEO

又∵∠AEO＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE

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A E O D B C

〔2〕CE＝CD仍然成立．

∵原来的半径OB所在直线向上平行挪动，∴CF⊥AO于F

在RtΔAFE中，∠A＋∠AEF＝90°．

连接OD，有∠ODA＋∠CDE＝90°，且OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠AEF＝∠CDE，

又∠AEF＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE．

A F O D

〔3〕CE＝CD仍然成立．

∵原来的半径OB所在直线向上平行挪动，∴AO⊥CF 延长OA交CF于G，

在RtΔAEG中，∠AEG＋∠GAE＝90°．

连接OD，有∠CDA＋∠ODA＝90°，且OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝∠GAE ∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE

E B C G

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4. 〔1〕证明：∵ED＝EP，∴∠EPD＝∠EDP．

又∵∠EPD＝∠CPO，∴∠CPO＝∠EDP．

在ΔOCD中，∠OCD＝∠ODC，∴∠COP＝∠ODE＝90°． ∴OD⊥DE． ED是⊙O的切线．

〔2〕在RtΔEOD中，∵OC＝OD＝ED＝2，

∴

tanEOD1ED．

∴ΔEOD是等腰直角三角形．

S阴SEODS扇ODDE4522223602．

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