第十三讲 圆锥曲线的综合问题

弦长问题是直线与圆锥曲线位置关系的一个重要内容，处理相关弦长及距离问题时，有以下处理方法： 1.“设而不求”求弦长，即将直线与圆锥曲线联立，得出关于x（或y）的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1x2,x1x2（或y1y2,y1y2）代入弦长公式.

2. 与弦中点相关的问题用点差法.

3. 根据圆锥曲线的定义和焦点三角形结合正、余弦定理求弦长. 4. 数形结合.

与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围，方程中变量的范围等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式实行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值（或范围），在解题过程中注意向量、不等式等在解题中的应用. 考点三：圆锥曲线中的定值、定点问题

圆锥曲线中的定值、定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”相关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等.可通过直接计算来求解，另外还可用“特殊位置法”和“相关曲线系法”求解.

例1. 已知两定点F12的点P的轨迹是曲线E，直线1(2,0),F2(2,0)，满足条件PF2PFykx1与曲线E交于A、B两点.

（1）求k的取值范围；

（2）如果AB63，且曲线E上存有点C，使OAOBmOC，求m的值和△ABC的面积S.

x2y21的左、右焦点. 例2. 设F1、F2分别是椭圆4（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；

（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率的取值范围.

x2y2222例3. 如图所示，椭圆221(ab0)和圆O:xyb，过椭圆上一点P引圆O的两条切

ab线，切点分别为A、B.

（1）①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；

②若椭圆上存有点P，使得∠APB＝90o，求椭圆离心率e的取值范围； （2）设直线AB与x轴，y轴分别交于点M，N，求证：

例4. 设过点P(2,4)，倾斜角为135o的直线l与抛物线C相交于点A和点B，抛物线C的顶点在原点且以x轴为对称轴.若PA、AB、PB成等比数列，试求抛物线C的方程.

练习题

a2ON2b2OM2为定值.

x2y21.如图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交1. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:3椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D(3,m). （1）求mk的最小值.

（2）若OGODOE，①求证：直线l过定点；

②试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.

2. 已知抛物线C:y2px(p0)过点A(1,2).（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程.

（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于

22225？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 5