2021学年贵州省毕节市某校高三（上）10月月考数学（理）试
卷
一、选择题
1. 已知集合𝐴={𝑥|log2(𝑥−1)<2}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<6}，则𝐴∩𝐵=( ) A.{𝑥|−1<𝑥<5} B.{𝑥|−1<𝑥<6} C.{𝑥|1<𝑥<5}
2. 在复平面内，复数A.第一象限
3. 已知向量𝑎，𝑏的夹角是，|𝑎|=2，|𝑏|=1，则|𝑎+𝑏|⋅|𝑎−𝑏|的值是( )
3
→
→
𝜋
→
→
→
→
→
→
2−1+𝑖
D.{𝑥|1<𝑥<6}
对应的点位于( )
C.第三象限
D.第四象限
B.第二象限
A.√21
B.√23 C.5 D.2√6 4. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的体积( )
A.36
5. 已知等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+𝑎3+𝑎5=12，𝑎10+𝑎11+𝑎12=24，则{𝑎𝑛}的前13项的和为( ) A.12
6. 执行下面的程序框图，则输出结果𝑆=( )
B.36
C.78
D.156
B.24
C.12
D.9
试卷第1页，总22页
A.16
7. 二项式(𝑥−)8的展开式中𝑥2的系数是−7，则𝑎=( )
𝑥𝑎
21
85
63
127
B. C.32 D. A.1
B.2 1
C.−2
1
D.−1
8. 甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且
预报准确与否相互．那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（ ） A.0.06
9. 为了得到函数𝑦=sin(2𝑥+)的图象，可以将函数𝑦=sin(2𝑥+)的图象（ ）
3
6
𝜋
𝜋
B.0.24 C.0.56 D.0.94
A.向左平移6个单位长度 C.向左平移12个单位长度
𝜋
𝜋
B.向右平移6个单位长度 D.向右平移12个单位长度
𝜋
𝜋
10. 已知直线 𝑙:𝑎𝑥+𝑏𝑦−2=0平分圆𝑥2+𝑦2−6𝑥−4𝑦−12=0，若𝑎，𝑏均为正数，则+的最小值是( )
𝑎
𝑏3
2
A.25
B.12
C.2
25
D.9
11. 双曲线𝐶的方程为𝑎2−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0),左右焦点分别为𝐹1,𝐹2,𝑃为𝐶右支上的一点，𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2=0,以𝑂圆心，𝑎为半径的圆与𝑃𝐹1相切，则双曲线的离心率为( )
→
→
𝑥2𝑦2
试卷第2页，总22页
A.√5
B.√3 C.2 D.√2
12. 若定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足：①𝑓(𝑥+1)关于𝑥=−1对称；②𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)；③在𝑥∈[0,1]上，有𝑓(𝑥)=2𝑥，则𝑓(𝑥)=|log3𝑥|的解的个数为( ) A.7 二、填空题
函数𝑓(𝑥)=(𝑚2−𝑚−1)𝑥𝑚是幂函数，且在𝑥∈(0, +∞)上为减函数，则实数𝑚的值是________．
已知向量𝑎=(−1,𝑡)，𝑏=(1,2)，且(𝑎+2𝑏)⊥𝑏，则实数𝑡的值为________.
已知曲线𝑦=+
𝑥1
ln𝑥𝑎
→
→
→
→
→
B.8 C.9 D.10
在𝑥=1处的切线𝑙与直线2𝑥+3𝑦=0垂直，则实数𝑎的值为
________.
以下五个命题：
①在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴>𝐵的充要条件是sin𝐴>sin𝐵；
②已知𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)−的零点在区间(𝑘,𝑘+1)(𝑘∈N)上，则𝑘的值为1；
𝑥2
③等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎5=16，则𝑎3=±4； ④函数𝑓(𝑥)=sin4𝑥−cos4𝑥的周期是2𝜋；
⑤若𝑚𝑥2−𝑚𝑥−1<0对∀𝑥∈R恒成立，则实数𝑚的取值范围为(−4,0). 其中为真命题的有________．
三、解答题
已知函数𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥+2cos2𝑥−1，𝑥∈R. (1)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期和单调递减区间；
(2)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知𝑐=√3，𝑓(𝐶)=1，sin𝐵=2sin𝐴，求𝑎，𝑏的值.
为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计.规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”.
试卷第3页，总22页
(1)根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关.
(2)用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考试，设抽到的3名学生中女生的人数为𝑋，求𝑋的分布列及数学期望. 附：𝐾2=
𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)
，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.
如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∠𝐵𝐴𝐷=60∘，𝑄为𝐴𝐷的中点．
(1)若𝑃𝐴=𝑃𝐷，求证：平面𝑃𝑄𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷；
(2)点𝑀在线段𝑃𝐶上，𝑃𝑀=3𝑃𝐶，若平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝑃𝐴=𝑃𝐷=𝐴𝐷=2，求二面角𝑀−𝐵𝑄−𝐶的大小．
函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥，𝑎∈R. (1)当𝑎=1时，求𝑓(𝑥)的极值；
(2)当𝑥>0时，𝑓(𝑥)≥0恒成立，求实数𝑎的最大值.
椭圆𝐸：𝑎2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 的离心率为2，𝐹是椭圆的右焦点，点𝐴(0,−2),且直线𝐴𝐹的斜率为
2√3，𝑂为坐标原点. 3𝑥2
𝑦2
√31
(1)求𝐸的方程；
试卷第4页，总22页
(2)设过点𝐴的直线𝑙与𝐸相交于𝑃，𝑄两点，求△𝑂𝑃𝑄面积的最大值，并求此时𝑙的方程.
已知𝑓(𝑥)=|𝑥+1|+|𝑎𝑥−1|.
(1)当𝑎=1时，求不等式𝑓(𝑥)≤4的解集；
(2)若𝑥∈(0,1)时，不等式𝑓(𝑥)<𝑥+2恒成立，求实数𝑎的取值范围.
试卷第5页，总22页
参与试题解析
2021学年贵州省毕节市某校高三（上）10月月考数学（理）试
卷
一、选择题 1.
【答案】 C
【考点】
指、对数不等式的解法 交集及其运算
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：集合𝐴={𝑥|log2(𝑥−1)<2}={𝑥|1<𝑥<5}， 集合
𝐵={𝑥|−1<𝑥<6}， 则𝐴∩𝐵={𝑥|1<𝑥<5}. 故选𝐶. 2. 【答案】 C
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据所给的复数的代数形式，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，写出点的坐标，看出点的位置． 【解答】 解：∵ 复数
2−1+𝑖
=
2(𝑖+1)(𝑖+1)(−1+𝑖)
=
2𝑖+2−2
=−1−𝑖，
∴ 复数对应的点的坐标是(−1, −1)， ∴ 复数对应的点的在第三象限. 故选𝐶. 3.
【答案】 A
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 向量的模 【解析】 此题暂无解析
试卷第6页，总22页
【解答】
解：∵ 向量𝑎，𝑏的夹角是，|𝑎|=2，|𝑏|=1，
3
→
→
𝜋
→
→
∴ 𝑎⋅𝑏=|𝑎|⋅|𝑏|cos3=2×2×1=1， (𝑎+𝑏)=𝑎+2𝑎⋅𝑏+𝑏2=4+2+1=7， (𝑎−𝑏)=𝑎−2𝑎⋅𝑏+𝑏2=4−2+1=3， ∴ |𝑎+𝑏|=√7，|𝑎−𝑏|=√3， ∴ |𝑎+𝑏|⋅|𝑎−𝑏|=√21. 故选𝐴. 4.
【答案】 C
【考点】
由三视图求体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由三视图可得，该几何体是底面边长为3的正方形，高为4的棱锥， 1
×3×3×4=12. 3故选𝐶. 5. 𝑉=
【答案】 C
【考点】
等差数列的前n项和 等差数列的性质
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：因为𝑎1+𝑎3+𝑎5=12，𝑎10+𝑎11+𝑎12=24， 所以𝑎3=4,𝑎11=8， 所以𝑆13=故选𝐶. 6. 【答案】
试卷第7页，总22页
13(𝑎1+𝑎13)
2
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→2
→2
→
→
→
→
→2
→2
→
→
→
→
→
→
→
𝜋1
=
13(𝑎3+𝑎11)
2
=13×6=78.
A
【考点】 程序框图 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：根据流程图所示的顺序，
可得该程序的作用是计算并输出𝑆=20+22+24=16的值， 则输出结果𝑆=故选𝐴. 7.
【答案】 B
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数 二项式定理的应用
【解析】
利用二项式定理的展开式的通项公式，通过𝑥幂指数为−3，求出𝑎即可． 【解答】
𝑟
解：由题意得𝑇𝑟+1=𝐶8⋅𝑥8−𝑟⋅(−𝑎)𝑟⋅𝑥−𝑟
𝑟=𝐶8⋅𝑥8−2𝑟⋅(−𝑎)𝑟， 令8−2𝑟=2， 得𝑟=3，
3
代入得𝐶8⋅(−𝑎)3=−7， 解得𝑎=.
21
2116
1
1
1
21
. 故选𝐵. 8.
【答案】 A
【考点】
相互事件的概率乘法公式 【解析】
求得甲气象台预报不准确的概率为(1−0.8)，乙气象台预报不准确的概率为(1−0.7)，相乘即得所求． 【解答】
解：甲气象台预报不准确的概率为(1−0.8)=0.2， 乙气象台预报不准确的概率为(1−0.7)=0.3， 故在一次预报中，
这两个气象台的预报都不准确的概率是0.2×0.3=0.06. 故选𝐴． 9. 【答案】
试卷第8页，总22页
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 【解析】
利用函数𝑦＝𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论． 【解答】
解：将函数𝑦=sin(2𝑥+6)=sin2(𝑥+12)的图象向左平移12个单位长度， 可得函数𝑦=sin2(𝑥+12+12)＝sin(2𝑥+3)的图象. 故选𝐶. 10.
【答案】 C
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化 基本不等式 直线与圆的位置关系 圆的标准方程
【解析】
求出圆心，根据直线平分圆，得到直线过圆心，得到𝑎，𝑏的关系，利用基本不等式即可得到结论． 【解答】
解：圆的标准方程为(𝑥−3)2+(𝑦−2)2=25， 即圆心为(3, 2)，
∵ 直线𝑎𝑥+𝑏𝑦−2=0平分圆𝑥2+𝑦2−6𝑥−4𝑦−12=0， ∴ 直线过圆心， 即3𝑎+2𝑏−2=0， ∴ 3𝑎+2𝑏=2， 则+=(+)(𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
3
2
3
2
3𝑎+2𝑏2
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
)
=
133𝑏3𝑎++ 2𝑎𝑏133𝑏3𝑎+2√⋅ 2𝑎𝑏
132
≥=
+2×3=
3𝑏
252
，
当且仅当𝑎=
3
2
3𝑎𝑏
，即𝑎=𝑏时取等号，
25
故𝑎+𝑏的最小值是2， 故选𝐶. 11.
试卷第9页，总22页
【答案】 A
【考点】
双曲线的离心率 双曲线的特性
【解析】
本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率，考查勾股定理得运用. 【解答】
解：由题意知，|𝑃𝐹1|=4𝑎,|𝑃𝐹2|=2𝑎,|𝐹1𝐹2|=2𝑐, ∵ 𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2=0，
∴ △𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形，则 |𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2， 即(4𝑎)2+(2𝑎)2=(2𝑐)2, ∴ 𝑒=√5. 故选𝐴. 12.
【答案】 A
【考点】 函数的周期性
根的存在性及根的个数判断
【解析】
根据已知画出函数𝑓(𝑥)的图象，然后根据函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑔(𝑥)={
的图象交点的个
log3(−𝑥)，𝑥<0log3𝑥，𝑥>0
→
→
数，利用图象法得到答案． 【解答】
解：由①𝑓(𝑥+1)关于𝑥=−1对称，知𝑓(𝑥)关于𝑦轴对称，所以𝑓(𝑥)是偶函数； 由②𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)，知𝑓(𝑥)是周期为2的周期函数. 在同一直角坐标系中作出𝑓(𝑥)和𝑦=|log3𝑥|的图象：
由图像可知，𝑓(𝑥)和𝑦=|log3𝑥|的图象有7个交点， 则𝑓(𝑥)=|log3𝑥|的解的个数为7. 故选𝐴. 二、填空题 【答案】
试卷第10页，总22页
−1
【考点】
幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】
运用幂函数的定义，可得𝑚2−𝑚−1=1，解得𝑚，再由幂函数的单调性即可得到𝑚． 【解答】
解：由幂函数定义可知：𝑚2−𝑚−1=1， 解得𝑚=2或𝑚=−1.
又函数在𝑥∈(0, +∞)上为减函数， 则𝑚=−1． 故答案为：−1. 【答案】
9− 2【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：∵ 𝑎=(−1,𝑡)，𝑏=(1,2)， ∴ 𝑎+2𝑏=(1,𝑡+4). ∵ (𝑎+2𝑏)⊥𝑏，
∴ (𝑎+2𝑏)⋅𝑏=1+2(𝑡+4)=0， 解得𝑡=−.
29
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
故答案为：−2. 【答案】
2 5【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的几何意义
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：直线2𝑥+3𝑦=0的斜率为−3， 设曲线𝑦=𝑥+
1
ln𝑥𝑎
2
9
在𝑥=1处的切线𝑙的斜率为𝑘，
试卷第11页，总22页
则𝑘⋅(−)=−1,
32
𝑘=2， 又曲线𝑦=+
𝑥1
ln𝑥𝑎1𝑎𝑥
3
在𝑥=1处有切线𝑙，
则𝑦′=−
1
1𝑥
2+
，
𝑦′(1)=𝑎−1=𝑘, 即𝑎−1=2， 解得𝑎=5. 故答案为：.
522
1
3
【答案】 ①② 【考点】
三角函数的图象 二倍角的余弦公式 不等式恒成立问题
由函数零点求参数取值范围问题 必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 等比数列的性质 函数的零点
【解析】
①△𝐴𝐵𝐶中，𝐴>𝐵⇔sin𝐴>sin𝐵；②②函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(1, 2)上存在零点的必要不充分条件是𝑓(1)⋅𝑓(2)<0；③等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎5=16，则𝑎3=4；④把函数𝑦=sin(2−2𝑥)的图象向右平移2个单位后，得到的图象对应的解析式为𝑦=sin(6−2𝑥)． 【解答】
解：①△𝐴𝐵𝐶中，𝐴>𝐵⇒sin𝐴>sin𝐵⇒𝐴>𝐵，
∴ △𝐴𝐵𝐶中，𝐴>𝐵的充要条件是sin𝐴>sin𝐵，故①正确； ②𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)−𝑥为定义域上的连续函数，
又𝑓(1)=ln2−2<0,𝑓(2)=ln3−1>0， ∴ 𝑓(1)⋅𝑓(2)<0，
∴ 函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)−𝑥的零点在区间 (1,2)上， ∴ 𝑘=1，故②正确；
③等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎5=16，
试卷第12页，总22页
2
2
∴ 𝑞4=16，𝑞2=4，则𝑎3=1×𝑞2=4，故③不正确； ④𝑓(𝑥)=sin4𝑥−cos4𝑥 =(sin2𝑥+cos2𝑥)(sin2𝑥−cos2𝑥) =sin2𝑥−cos2𝑥=−cos2𝑥, 函数 𝑓(𝑥) 的周期为
2𝜋2
=𝜋，故④不正确；
⑤当𝑚=0时，−1<0恒成立，满足题意， 当𝑚≠0时，得{
𝑚<0，2
(−𝑚)+4𝑚<0，
解得−4<𝑚<0，∴ 𝑚的取值范围为(−4,0]，故⑤不正确. 故答案为：①②． 三、解答题 【答案】
解：(1)由𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥+cos2𝑥=2sin(2𝑥+)，
6𝜋
可得最小正周期为𝑇=令2+2𝑘𝜋≤2𝑥+6≤解得6+𝑘𝜋≤𝑥≤
𝜋
2𝜋3
𝜋
𝜋
2𝜋23𝜋2
=𝜋， +2𝑘𝜋(𝑘∈Z)，
+𝑘𝜋(𝑘∈Z)，
𝜋
2𝜋3
∴ 函数的单调递减区间为[6+𝑘𝜋,(2)∵ 𝑓(𝐶)=2sin(2𝐶+6)=1， ∴ 𝐶=. 3𝜋
𝜋
+𝑘𝜋],𝑘∈Z；
由余弦定理得(√3)2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos，
3
𝜋
即𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=3，① 又∵ sin𝐵=2sin𝐴，
由正弦定理得𝑏=2𝑎，② ①②联立，
解得𝑎=1，𝑏=2. 【考点】
两角和与差的正弦公式 正弦函数的周期性 余弦定理 正弦定理
三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的单调性
【解析】
（1）根据辅助角公式即可求得𝑓(𝑥)，即可求得𝑓(𝑥)最小正周期及单调递减区间；
试卷第13页，总22页
（2）由𝑓(𝐶)＝1，即可求得𝐶，利用余弦定理及正弦定理即可求得𝑎和𝑏的值． 【解答】
解：(1)由𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥+cos2𝑥=2sin(2𝑥+6)， 可得最小正周期为𝑇=令2+2𝑘𝜋≤2𝑥+6≤解得6+𝑘𝜋≤𝑥≤
𝜋
2𝜋3
𝜋
𝜋
2𝜋23𝜋2
𝜋
=𝜋， +2𝑘𝜋(𝑘∈Z)，
+𝑘𝜋(𝑘∈Z)，
𝜋
2𝜋3
∴ 函数的单调递减区间为[6+𝑘𝜋,(2)∵ 𝑓(𝐶)=2sin(2𝐶+6)=1， ∴ 𝐶=. 3𝜋
𝜋
+𝑘𝜋],𝑘∈Z；
由余弦定理得(√3)2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos3， 即𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=3，① 又∵ sin𝐵=2sin𝐴，
由正弦定理得𝑏=2𝑎，② ①②联立，
解得𝑎=1，𝑏=2. 【答案】
解：(1)填写列表如下：
𝜋
因为𝐾2=
200×(35×75−65×25)2100×100×60×140
≈2.381<2.706，
所以没有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关.
(2)利用分层抽样的方法，抽到男生的人数35×抽到女生的人数为25×60=5. 若从12人中任意抽取3人，
则女生被抽到的人数𝑋=0，1，2，3， 𝑃(𝑋=0)=
3𝐶0𝐶753𝐶12
1260
=7，
12
=44，
7
试卷第14页，总22页
𝑃(𝑋=1)=𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝑋=3)=
2𝐶1𝐶753𝐶12
=
21447
，
1𝐶2𝐶753𝐶12
=22， =
122
0𝐶3𝐶753𝐶12
.
故抽到女生的人数𝑋的分布列为
𝐸(𝑋)=0×44+1×44+2×22+3×22=4.
【考点】
离散型随机变量的分布列及性质 离散型随机变量的期望与方差 性检验的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)填写列表如下：
7
21
7
1
5
因为𝐾2=
200×(35×75−65×25)2100×100×60×140
≈2.381<2.706，
所以没有90%以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关.
(2)利用分层抽样的方法，抽到男生的人数35×60=7， 抽到女生的人数为25×60=5. 若从12人中任意抽取3人，
则女生被抽到的人数𝑋=0，1，2，3， 𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝑋=1)=
3𝐶0𝐶753𝐶12
12
12
=44， =44，
21
7
2𝐶1𝐶753𝐶12
试卷第15页，总22页
𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝑋=3)=
1𝐶2𝐶753𝐶12
=
7
221
，
0𝐶3𝐶753𝐶12
=22.
故抽到女生的人数𝑋的分布列为
𝐸(𝑋)=0×44+1×44+2×22+3×22=4.
【答案】
(1)证明：由题意知：𝑃𝑄⊥𝐴𝐷，𝐵𝑄⊥𝐴𝐷，𝑃𝑄∩𝐵𝑄=𝑄， ∴ 𝐴𝐷⊥平面𝑃𝑄𝐵， 又∵ 𝐴𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷， ∴ 平面𝑃𝑄𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷．
(2)解：∵ 𝑃𝐴=𝑃𝐷=𝐴𝐷，𝑄为𝐴𝐷的中点， ∴ 𝑃𝑄⊥𝐴𝐷.
∵ 平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷， 𝑃𝑄在平面𝑃𝐴𝐷内， ∴ 𝑃𝑄⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷.
以𝑄这坐标原点，分别以𝑄𝐴，𝑄𝐵，𝑄𝑃为𝑥，𝑦，𝑧轴， 建立如图所求的空间直角坐标系，
7
21
7
1
5
由题意知：𝑄(0, 0, 0)，𝐴(1, 0, 0)， 𝑃(0, 0, √3)，𝐵(0, √3, 0)，𝐶(−2, √3, 0)， ∴ 𝑄𝑀=3𝑄𝑃+3𝑄𝐶=(−3,
→→
2→
1→
2√32√3
, 3)， 3
设𝑛1=(𝑥,𝑦,𝑧)是平面𝑀𝐵𝑄的一个法向量，
→
则𝑛1
⋅𝑄𝑀=−3𝑥+
2
→
→0，𝑛1√3𝑦3
⋅𝑄𝐵=0，
2√3
𝑧3
→
∴ {
+
√3𝑦=0，=0，
取𝑧=1， ∴ 𝑛1=(√3,0,1).
又∵ 𝑛2=(0,0,1)是平面𝐵𝑄𝐶的一个法向量， ∴ cos<
→→𝑛1，𝑛2→→
>=
→→|𝑛1|⋅|𝑛2|
𝑛1⋅𝑛2
→→
=2×1=2，
11
∴ 二面角𝑀−𝐵𝑄−𝐶的大小是60∘．
试卷第16页，总22页
【考点】
二面角的平面角及求法
用空间向量求平面间的夹角 与二面角有关的立体几何综合题 平面与平面垂直的判定
【解析】
（1）由题设条件推导出𝑃𝑄⊥𝐴𝐷，𝐵𝑄⊥𝐴𝐷，从而得到𝐴𝐷⊥平面𝑃𝑄𝐵，由此能够证明平面𝑃𝑄𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷．
（2）以𝑄这坐标原点，分别以𝑄𝐴，𝑄𝐵，𝑄𝑃为𝑥，𝑦，𝑧轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角𝑀−𝐵𝑄−𝐶的大小．
【解答】
(1)证明：由题意知：𝑃𝑄⊥𝐴𝐷，𝐵𝑄⊥𝐴𝐷，𝑃𝑄∩𝐵𝑄=𝑄， ∴ 𝐴𝐷⊥平面𝑃𝑄𝐵， 又∵ 𝐴𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷， ∴ 平面𝑃𝑄𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷．
(2)解：∵ 𝑃𝐴=𝑃𝐷=𝐴𝐷，𝑄为𝐴𝐷的中点， ∴ 𝑃𝑄⊥𝐴𝐷.
∵ 平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷， 𝑃𝑄在平面𝑃𝐴𝐷内， ∴ 𝑃𝑄⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷.
以𝑄这坐标原点，分别以𝑄𝐴，𝑄𝐵，𝑄𝑃为𝑥，𝑦，𝑧轴， 建立如图所求的空间直角坐标系，
由题意知：𝑄(0, 0, 0)，𝐴(1, 0, 0)， 𝑃(0, 0, √3)，𝐵(0, √3, 0)，𝐶(−2, √3, 0)， ∴ 𝑄𝑀=𝑄𝑃+𝑄𝐶=(−,
3
3
→→
2→
1→
2√32√3
, )， 333
设𝑛1=(𝑥,𝑦,𝑧)是平面𝑀𝐵𝑄的一个法向量， 则𝑛1⋅𝑄𝑀=0，𝑛1⋅𝑄𝐵=0， ∴ {
−𝑥+
32
√3
𝑦3
→
→
→
→
+
2√3
𝑧3
√3𝑦=0，=0，
取𝑧=1， ∴ 𝑛1=(√3,0,1).
又∵ 𝑛2=(0,0,1)是平面𝐵𝑄𝐶的一个法向量， ∴ cos<
→→𝑛1，𝑛2→→
>=
→→|𝑛1|⋅|𝑛2|
𝑛1⋅𝑛2
→→
=2×1=2，
11
∴ 二面角𝑀−𝐵𝑄−𝐶的大小是60∘．
试卷第17页，总22页
【答案】
解：(1)𝑎=1时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1， 令𝑓′(𝑥)=0， 解得𝑥=0.
当𝑥<0时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减； 当𝑥>0时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增， 所以𝑓(𝑥)极小值=𝑓(0)=1，函数无极大值. (2)𝑥>0时，由𝑓(𝑥)≥0， 得𝑎≤
𝑒𝑥𝑥
.
𝑒𝑥
令𝑔(𝑥)=
，令𝑔′(𝑥)=𝑥
𝑥⋅𝑒𝑥−𝑒𝑥
𝑥2=0，
解得𝑥=1.
当0<𝑥<1时，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减； 当𝑥>1时，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增， 所以[𝑔(𝑥)]min=𝑔(1)=𝑒， 所以𝑎≤𝑒.
故实数𝑎的最大值为𝑒.
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)𝑎=1时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1， 令𝑓′(𝑥)=0， 解得𝑥=0.
当𝑥<0时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减； 当𝑥>0时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增， 所以𝑓(𝑥)极小值=𝑓(0)=1，函数无极大值. (2)𝑥>0时，由𝑓(𝑥)≥0， 得𝑎≤
𝑒𝑥𝑥
.
𝑒𝑥
令𝑔(𝑥)=
，令𝑔′(𝑥)=𝑥
𝑥⋅𝑒𝑥−𝑒𝑥
𝑥2
=0，
试卷第18页，总22页
解得𝑥=1.
当0<𝑥<1时，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减； 当𝑥>1时，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增， 所以[𝑔(𝑥)]min=𝑔(1)=𝑒， 所以𝑎≤𝑒.
故实数𝑎的最大值为𝑒. 【答案】
解：(1)设𝐹(𝑐,0)，由条件知=
𝑐2
2√3，得𝑐3
=√3，
又=
𝑎
𝑐
√3， 2
所以𝑎=2，𝑏2=𝑎2−𝑐2=1， 故𝐸的方程为4+𝑦2=1.
(2)依题意，当𝑙⊥𝑥轴时不合题意，故设直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥−2， 设𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)， 将𝑦=𝑘𝑥−2代入4+𝑦2=1， 得(1+4𝑘2)𝑥2−16𝑘𝑥+12=0. 当𝛥=16(4𝑘2−3)>0，即𝑘2>，
43
𝑥2
𝑥2
由韦达定理可得，𝑥1+𝑥2=1+4𝑘2，𝑥1𝑥2=1+4𝑘2， |𝑃𝑄|=√(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2] 16𝑘212
=√(1+𝑘2)[()−4⋅]
1+4𝑘21+4𝑘2=√
16(1+𝑘2)(4𝑘2−3)
(1+4𝑘2)216𝑘12
，
2又点𝑂到直线𝑃𝑄的距离𝑑=
√𝑘2+11
，
4√4𝑘2−34𝑘2+14𝑡
所以△𝑂𝑃𝑄的面积𝑆△𝑂𝑃𝑄=2𝑑|𝑃𝑄|=
， ≤1，
设√4𝑘2−3=𝑡，则𝑡>0，𝑆△𝑂𝑃𝑄=𝑡2+4=当且仅当𝑡=2，𝑘=±
4𝑡+
4𝑡√7时等号成立，且满足𝛥2
>0， −2或𝑦=−
√7𝑥2
所以当△𝑂𝑃𝑄的面积最大时，𝑙的方程为：𝑦=
√7𝑥2
−2.
试卷第19页，总22页
【考点】 椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 斜率的计算公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)设𝐹(𝑐,0)，由条件知=
𝑐2
2√3，得𝑐3
=√3，
又𝑎=
𝑐
√3， 2
所以𝑎=2，𝑏2=𝑎2−𝑐2=1， 故𝐸的方程为
𝑥24
+𝑦2=1.
(2)依题意，当𝑙⊥𝑥轴时不合题意，故设直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥−2， 设𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)， 将𝑦=𝑘𝑥−2代入4+𝑦2=1， 得(1+4𝑘2)𝑥2−16𝑘𝑥+12=0. 当𝛥=16(4𝑘2−3)>0，即𝑘2>，
43
𝑥2
由韦达定理可得，𝑥1+𝑥2=1+4𝑘2，𝑥1𝑥2=1+4𝑘2， |𝑃𝑄|=√(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2] 16𝑘212
=√(1+𝑘2)[()−4⋅]
1+4𝑘21+4𝑘2=√
16(1+𝑘2)(4𝑘2−3)
(1+4𝑘2)2
16𝑘12
，
2又点𝑂到直线𝑃𝑄的距离𝑑=
√𝑘2+112
，
4√4𝑘2−34𝑘2+14𝑡
所以△𝑂𝑃𝑄的面积𝑆△𝑂𝑃𝑄=𝑑|𝑃𝑄|=
， ≤1，
设√4𝑘2−3=𝑡，则𝑡>0，𝑆△𝑂𝑃𝑄=𝑡2+4=当且仅当𝑡=2，𝑘=±
4𝑡+
4𝑡
√7时等号成立，且满足𝛥2
>0， −2或𝑦=−
√7𝑥2
所以当△𝑂𝑃𝑄的面积最大时，𝑙的方程为：𝑦=
√7𝑥2
−2.
试卷第20页，总22页
【答案】
解：(1)当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=|𝑥+1|+|𝑥−1|，
−2𝑥，𝑥≤−1，即𝑓(𝑥)={2，−1<𝑥<1，
2𝑥，𝑥≥1，𝑥≤−1，−1<𝑥<1，𝑥≥1，或{
2<4，2𝑥≤4，则𝑓(𝑥)≤4等价于{
−2𝑥≤4，或{
可得−2≤𝑥≤−1或−1<𝑥<1或1≤𝑥≤2， 故不等式𝑓(𝑥)≤4的解集为{𝑥|−2≤𝑥≤2}； (2)若𝑥∈(0,1)时，不等式𝑓(𝑥)<𝑥+2恒成立， 即|𝑥+1|+|𝑎𝑥−1|<𝑥+2，
等价于当𝑥∈(0,1)时，|𝑎𝑥−1|<1恒成立，
若𝑎≤0时，则当𝑥∈(0,1)时，|𝑎𝑥−1|≥1，不满足条件； 若𝑎>0时，|𝑎𝑥−1|<1的解集为0<𝑥<𝑎， 所以𝑎≥1，故0<𝑎≤2. 综上，实数𝑎的取值范围为(0,2]. 【考点】
不等式恒成立问题 绝对值不等式
绝对值不等式的解法与证明
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=|𝑥+1|+|𝑥−1|，
−2𝑥，𝑥≤−1，即𝑓(𝑥)={2，−1<𝑥<1，
2𝑥，𝑥≥1，𝑥≤−1，−1<𝑥<1，𝑥≥1，或{
2<4，2𝑥≤4，2
2
则𝑓(𝑥)≤4等价于{
−2𝑥≤4，或{
可得−2≤𝑥≤−1或−1<𝑥<1或1≤𝑥≤2， 故不等式𝑓(𝑥)≤4的解集为{𝑥|−2≤𝑥≤2}； (2)若𝑥∈(0,1)时，不等式𝑓(𝑥)<𝑥+2恒成立， 即|𝑥+1|+|𝑎𝑥−1|<𝑥+2，
等价于当𝑥∈(0,1)时，|𝑎𝑥−1|<1恒成立，
试卷第21页，总22页
若𝑎≤0时，则当𝑥∈(0,1)时，|𝑎𝑥−1|≥1，不满足条件； 若𝑎>0时，|𝑎𝑥−1|<1的解集为0<𝑥<𝑎， 所以𝑎≥1，故0<𝑎≤2. 综上，实数𝑎的取值范围为(0,2].
2
2
试卷第22页，总22页
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