基础巩固组
1.(2018山东春季联考)已知抛物线x=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5
2
2.O为坐标原点,F为抛物线C:y=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 ( ) A.2 B.2 C.2 D.4
2
3.(2018云南昆明一中模拟,5)已知点F是抛物线C:x=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆心,|FO|为半径的圆与直线x-y+3=0相切,则抛物线C的方程为( ) 22A.x=2y B.x=4y 22C.x=6y D.x=8y
2
4.(2018广东江门一模,10)F是抛物线y=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若
2
,则|PQ|=( )
A. B.4 C. D.3
2
5.(2018湖南师范大学附属中学三模,11)已知F为抛物线C:y=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为( ) A.2 B. C.2 D.
2
6.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺,11)已知抛物线C:y=2px(p>0),焦点为F,直线y=x与抛物线C交于O,A两点(O为坐标原点),过F作直线OA的平行线交抛物线C于B,D两点(其中B在第一象限),直线AB与直线OD交于点E,若△OEF的面积等于1,则抛物线C的准线方程为( ) A.x=-1 B.x=- C.y=-1 D.y=-
2
7.过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( ) 22A.y=9x B.y=6x 22C.y=3x D.y=x
2
8.已知抛物线y=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .
2
9.(2018安徽巢湖一模,15)已知抛物线C:y=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B两点,分别从A,B两点向直线l2:x=-2作垂线,垂足是D,C,则四边形ABCD的周长为 .
2
10.(2017广东江门一模,10改编)F是抛物线y=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若
=2
=4,则= .
综合提升组
2
11.(2018山东烟台模拟,6)已知直线l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,点P为抛物线y=-8x上的任一点,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )
A.2 B.2 C. D.
2
12.(2017全国Ⅱ,文12)过抛物线C:y=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为 ( ) A. B.2 C.2 D.3
2
13.已知抛物线的方程为y=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
14.(2017安徽马鞍山一模,20)设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程;
1
(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.
创新应用组
15.
(2018北京城六区一模,2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上,满足到直线AA1和CD的距离相等的点P( ) A.不存在 B.恰有1个 C.恰有2个 D.有无数个
2
16.(2018河北衡水模拟,20)已知抛物线C:y=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切. (1)求抛物线C的方程;
(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为△OAB面积的倍,求l1和l2的方程. ,且△OCD的面积是
2
课时规范练46 抛物线
1.C 因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以
=7-5,所以|a|=8,
因此焦点F到准线l的距离是=4,故选C. 2.C 利用|PF|=xP+=4,可得xP=3.
∴yP=±2.∴S△POF=|OF|·|yP|=2
2
.故选C.
x-y+3=0
3.B 由抛物线C的方程为x=2py(p>0),则焦点坐标F0, ,所以焦点F0, 到直线
的距离为d=,解得p=2,所以抛物线的方程为x=4y,故选B.
4.A 设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QMP,得,即,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QP|=,所以|PQ|=|PF|+|QP|=.故选A.
22
5.B 由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y=4x联立得y-4my-4=0,设
2
A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0==2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又
|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=,故选B. 6.A
7.C 如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,
由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|. ∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.
连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,
则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,
2
故抛物线方程为y=3x.
8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.
依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2. 9.18+4 由题知,F(1,0),准线l的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,
2
得x=-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知
3
|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是,所以|CD|=|AB|sin =8×=4,所以四边形ABCD的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4=18+4.
10. 由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交垂线于点C,设准线与x轴的交点为D,
则由抛物线的定义,|FA|=m+,
由△BAC∽△BFD,得,∴m=.
∴|FA|=,|FB|=3,
∴=|FA||FB|=.
2
11.C ∵抛物线y=-8x的焦点为F(-2,0),准线为l1:x=2,
∴P到l1的距离等于|PF|,∴P到直线l1,l2的距离之和的最小值为F(-2,0)到直线l2的距离d=.故选C.
12.C 由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.
因为M在x轴的上方,所以M(3,2). 因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2). 因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).
所以M到直线NF的距离为13.2 设B(x1,y1),A(x2,y2).
(x-1),与抛物线
=2.
∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,∴x1+x2=2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2. 根据抛物线对称性可知点B,A关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=x,由解得B(6p,2p),∴|OB|==4p.∵△OAB的面积为48,∴=48,∴p=2.
14.(1)解 由题意知,动点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方
2
程为y=4x.
(2)证明 由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).
设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2, 则l2:y=-k(x-1)+2,
由
得kx-(2k-4k+4)x+(k-2)=0,
22
2
2
∴x1=,
4
同理x2=.
,x1-x2=-.
∴x1+x2=∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=.
∴kMN==-1,即直线MN的斜率为定值-1.
15.D 由于点P在侧面A1ABB1上,所以点P到直线AA1的距离为PA,所以点P为到定点A与到定直线CD距离相等的点集合,满足抛物线的定义,有无数个.故选D.
222
16.解 (1)设直线AB方程为y=x-b,代入y=2px,得x-(2b+2p)x+b=0,
Δ=(2b+2p)2-4b2=8bp+4p2>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2b+2p,x1x2=b2,
|AB|=|x1-x2|==2
,AB的中点为(1+p,p),
,解得p=2.
,
当b=1时,|AB|=2依题意可知2(1+p+1)=2
2
所以抛物线方程为y=4x.
(2)点O到直线l1的距离为d=,
S△OAB=×|AB|×d=×2=2|b|.
因为平行线l1,l2之间的距离为,所以直线CD方程为y=x-(b+1), S△OCD=2|b+1|.
22
依题意可知×2|b|=2|b+1|,即3b(b+1)=(b+1)(b+2), 化简得2b-3b-2=0,所以b=-或b=2,满足Δ>0, 所以l1:y=x+,l2:y=x-或l1:y=x-2,l2:y=x-3.
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