比较和估算

第九讲 比较和估算

内容概述

在人们的学习和生活实践中经常要和各种各样的数打交道，在许多情况下把握数的相对大小关系就显得比较重要。今天我们将来学习一些数的比较和估算的方法，帮助我们更加深刻的理解数的概念，加深对数的实际意义的理解。

大家都听说过“诸葛亮草船借箭”的故事吧！故事是这样的：当将士们将“借来”的箭正准备报给诸葛亮听，诸葛亮轻轻挥了一下羽毛扇，让这个士兵不要报出数来，然后对士兵们笑着说：“今天大获全胜，大家都很高兴，我就来猜猜箭数，给大家再助助兴。”然后对前来汇报的士兵说：“你不用说出箭数，我问你们十个问题，你们一一答来，我就知道箭数。”士兵们开始不信，一直等诸葛亮问完，士兵答完，诸葛亮报出数来，他们才个个称奇。

诸葛亮问了哪些问题?又如何算得箭数呢? 小朋友们，学完这一讲你就能体会“比较和估算”的“妙处”了！自然就明白了诸葛亮的神机妙算了!

类型Ⅰ：数的大小比较

小数的大小比较常用方法： 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.（如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式） 分数的大小比较常用方法： （1）通分母：分子小的分数小. （2）通分子：分母小的分数大. （3）比倒数：倒数大的分数小. （4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小。（适用于真分数） （5）重要结论：①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． （6）放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 学而思教育 07年春季班讲义 五年级 竞赛班 第九讲 教师版 Page 1 of 14

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【例1】 （奥数网习题库）给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998＞0.1998＞0.1998＞0.1998 （难度系数：★★）

分析：根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是0.1998，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998，而次大数为0.1998． 于是得到不等式： 0.1998•••••••••0.19980.19980.1998

•••••

【例2】 用尽可能多的方法解答下列题目：

（1）（幼苗杯数学邀请赛）把下列分数用“＜”号连接起来：（2）试比较

1012152060、、、、 ； 17192333371111111和的大小 ； 111111111111111110444444443（3）（第六届迎春杯决赛）如果A=，B=,A与B中哪个数较大？

222222221888888887（难度系数：★★★）

分析： （1）这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦。再看分子，60正好是10、12、15、20、60五个数的公倍数。利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数。我们称之为“通分子比大小”的方法。

106012601560206060606060606060 ；可见<<<< ； =，=，，，171021995239233993737102999592371020121560也就是<<<< .

1733192337你若选择“通分母比大小”或“化成小数比大小”的方法也可以，但计算复杂，难免出错。

（2）法1：观察可知，这两个分数的分母都比分子的lO倍多1．对于这样的分数，可以利用它们的倒数

1111111111111111的倒数是1÷＝10 ，的倒数是１÷＝10，我们很容易看出111111111111111111111111111111111110＞10，所以＜；

1111111111111111111111101110法2：，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分111111111011110111011111111111,即. 数比较大，所以

1111011111111111111比较大小．

（3）法1：观察可以发现A、B都很接近1/2，且比它小。依照与1比较的思路，我们不防与1/2比较。

1111111-A=,-B=,-B＜-A，即B比A更接近，换句话说 B＞A . 2222222222122888888887222

法2：A11111111011111111044444444402222222212222222214888888884444444443B ，即A888888887B.

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法3：

111112,2,显然A111111110B444444443A1，则ABB.

以上答案仅供参考。希望通过两个联系题让学生初步掌握运用：比倒数法，与1相减比较法，运用结论。

11111，b=,则在a与b中，较大的数是______。 345674285125（2）（第十届迎春杯刊赛）把,和 . 三个分数按从大到小顺序排列是：4387128【例3】 （1）（第四届希望杯1试）设a=

（难度系数：★★★）

分析：（1）可采用放缩法。因为

111111111111=+＞+，＞。所以＞，即a是较大的数。366674534567当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。

（2）法1：综合利用“与1比较法”和“放缩法”。

42185212531,1,1; 4343878712812812213382125 . 又因为,,所以438687431291288743128421852112511，1,11,1•4343878743.512842.3.5143142.6•法2：其实你也可以这样想： ，

所以

82125 . 8743128【例4】 （华杯赛复赛）

分析：记a1357991与相比，哪个更大，为什么？（难度系数：★★★★） 246810010135799， 2468100显然有：ab2468100 3579101 ，

而ab

11112，有a，所以原分式比小 . 10110010010【例5】 (第五届华杯赛口试)试比较: 2222与3333哪一个大? 296个2185个3（难度系数：★★★★）

8个22222256分析：296=37×8，185=37×5，因为所以2222＞3333 1，3333243296个2185个35个3学而思教育 07年春季班讲义 五年级 竞赛班 第九讲 教师版 Page 3 of 14

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【例6】 （小学数学奥林匹克竞赛决赛）在右边四个算式的四个方框内，分别填上加、减、乘、除四种运算符号，使得到的四个算式的答数之和尽可能大，那么这个和等于多少？ （难度系数：★★★）

分析：0.30.3111 所以，0.3前面应填除号,0.3前面填减号,前填加号，0.30.30.31前填乘号，才能使这四个算式的答数之和最大．这个最大的和是： 0.3(60.3)(60.3)(611)(6)0.30.31101066636

33323

【例7】 （奥数网习题库）从1,1.1,,1,14742116,六个数中选出三个数，分别记为A，B，C.要求选出3125的三个数使得A×（B-C）尽量大，并写出A×（B-C）的最简分数表示。（难度系数：★★★）

分析：要求A×（B-C）尽量大，显然C取最小数，A、B取最大和次大数，利用和一定，差越小积越大，

1111是比1小的数，所以C为。再看其1212•617272它五个数字，本题将分数化为小数容易判断：11.25,1.75,11.6,1.2,因此B,A1，

443325故有：A(BC) .

18显然A取次大数，B取最大数。六个数中分数、小数并存，发现

类型Ⅱ：数的估算

数的估算时常用方法： （1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小。使结果介于某两个接近数之间，从而估算出结果。 （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式。

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【例8】 （全国奥林匹克民族卷）

24807<<在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那31口931737，而、<<310口720310720么要填的整数是多少?（难度系数：★★★）

分析：法1：将不等式中的三个数同时除以80，不等号的方向不改变，有的倒数分别为

310720310720、，而□应该在之间，即在103.33～102.86之间(在计算循环小数时，至3737将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103，所以□内所填的整数为103．

法2：这道题用到一个结论：任意两个分数，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分数叫做加成分数．加成分数的值介于原来两个分数之间．用式子可以表示为：

aacc。由802478，bbdd756248056，，所以方框中可以填103。 9723110372法3：此题也可以这么解：根据：当adbc时，就有abc，那么：24×□＜80×31；7×□＞9×80，d可以得到102.8＜□＜103.3，所以□＝103 .

【例9】 （第五届希望杯培训试题）已知除法算式：123456710111213÷312111019876321．它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是 . （难度系数：★★★）

分析：各取被除数、除数前两位，有：原式＞12÷32=0.375，原式＜13÷31≈0.4194 ；在0.375～0.4194之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大. 再各取被除数、除数前三位，有：原式＞123÷313≈0.3930，原式＜124÷312≈0.3974，仍无法确定 ； 又各取被除数、除数前四位，有：原式＞1234÷3122≈0.3953，原式＜1235÷3121≈0.3957.说明原式的结果在0.3953～0.3957之间，因此，小数点后前三位数分别是3，9，5.

【例10】 （首师大附中分班考试题）老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）．小明计算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了．”那么，正确的得数应是______.（难度系数：★★★）

分析：法1：因为14.7这三个数字正确，14.7×7＝102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，104，……等，当和为103时，平均数为103÷7≈14.71，当和为104时，平均数为104÷7≈14．86，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71．

法2：此题可以用放缩法：由题意知：14.70≤平均数≤14.79，所以这7个数的和介于102.90和103.53之间，又由于7个自然数的和必然是整数，所以是103。则正确的平均数是103÷7＝14.71 .

【例11】 （第三届华杯赛复赛试题） 数

1的整数部分是几？（难度系数：★★★★）

111110111219

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分析：

即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是1.

【例12】 已知：S=

（06年清华附测试题）

11111...1980198119822006,则S的整数部分是_________.（难度系数：★★★★★）

分析：如果全是

188111，那么结果是73，如果全是，那么结果是74，所以73＜S＜74，

20062727198033不能确定S的整数部分.

我们不妨采用分段估值，有：

10107111110107...19199920061980198119822006198019902000 111则10107111110107...19199920061980198119822006198019902000大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！

下面先让我们来看看两个例子：

（1）

1111119801981198219831984111981198319821982219811983198119831982198219821119801984198219822 1980198419801984198219821982那么也就有：1111115198019811982198319841982

（2）

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111119801981198219831119811982198019831119811982198119821980198319801983 那么也就有：111111()24198019811982198319811981聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！

27111127...199319801981198220061980198011则731111273...1980198119822006由此可以确定整数部分是73.199322=73 2727

【例13】

（奥数网习题库）A=1＋

11111111＋＋＋＋＋＋＋…＋的整数部分是多少? 234567816（难度系数：★★★★★）

分析：把算式中的分数放大或缩小，如果全部放大为

11115，则A＜8；全部缩小为，则A＞1，这样221616无法确定A的整数是多少.如果用我们上题的方法我们也找不到答案.（同学们不妨想想为什么在这道题目

中不能用上题方法？）

于是我们来用一种分段放大和缩小的办法． 1＋

1111111111111＋＋＋…＋ ＞１＋＋（＋）＋（＋＋＋）＋（23416244888816168个1） 161111＋＋＋…＋＞3 234161111111111111111111 1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋（＋＋+）+（＋＋＋+＋＋＋）+

23416234444888888881343 即A＜3，因为3＜A＜3，所以A的整数部分是3．

4848通过计算得1＋

“放大缩小”最难掌握的是放缩幅度．一般先按较大的幅度去试，发现太大时再把幅度调整得小一点，

重新估算1～3次，这样就会逐步达到目的．

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附加题目

学生在学习此节课时，可能要涉及到：“循环小数化分数的方法”，教师根据自己班级情况给与讲解。

【附1】把0．4，0．143，０．１8，０．２57化成分数.

分析：（1）0．4× 10＝4. 4 ① 用①一②可得：0．4 ×(10—1)＝4．4—0．4 0．4＝0．4 ② 0．4×9＝4

•44所以： 0．4＝ 0．4＝

99••••••••••••••• （2）0．0．143×1000=143．143 ① 用①一②得：143 ×(1000—1) ＝１４３．143－0．143

0．143＝０．143 ② 0．143×９９９＝１４３

••143143 所以： 0．143＝ 0．143＝

999999••••••••••••••••••（3）０．１8×１００＝１８．8 ① 用①一②得： 0.１8×（１００－１０）＝１８．8－１．8

０．１8×１０＝１．8 ② 0.１8×９０＝１７

•1717 所以0.１8＝ 0.18＝

9090•••••••••（4）0.２57×１０００＝２５７．57 0.257×（１０００－１０）＝２５７．57－２．57

0.２57×１０＝２．57 0.257×９９０＝２５５

••2551725517 所以：0.257＝＝ 0.257＝＝

9906699066••••••••••••••••••

【附2】（1）（奥数网习题库）比较以下小数，找到最大的数：1.121，1.121，1.12，1.12121，1.12 . （2）比较以下5个数，排列大小：1,0.42,,1.667, .（难度系数：★★）

分析：（1）题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示： 1．12112112 l 1．121000000 1．121212121 1．121210000 1．120000000

于是可以得出结果，1.12是最大的数．对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的。

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••••••••3753讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思讲义编写组

（2）题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较．

••333① 小于l部分为0.42和，将小数展开，并把化为分数得：0．42424，0．42857，显然，＞0.42；

7772② 另一部分中，有整数、小数、假分数，先将假分数化为带分数1，比较三数整数部分，发现都为1，

322然后比较其他部分：1=1．666666…<1．667，所以得到1＜1＜1．667．

33••32 即得：0.42＜＜1＜1＜1．667 .

73••这类问题将整数、循环小数、真分数、假分数等混合比较，一般以1为边界分为两部分处理，避免重

复判断。

【附3】（数学爱好者夏令营测试题）在（难度系数：★★★） 分析：

199819981999199920002000 ，，中，最小的分数是？199919992000200020012001199819981998199919991999200020002000=，=，；199919991999200020002000200120012001

19981999200019981998；所以最小的是.19992000200119991999

【附4】用“＞”号把下列分数连接起来：

139357 24168812

分析：这道题目本身并不难，孩子们用自己的办法可以很快的做出来，但如果数字变的复杂些，那么我们就必须找到一个有效方法了。从这道题目，我们可以给大家展示另外2种典型思路。 法1：

11311911311511711利用这个分数：，，，，，2242241621682882812212

579133可知：81216248法2: 观察可以发现分母都是4的倍数，所以我们不妨把分母都化为4，可得：

1111122121313693576,4,2,2,3244418484124

11111579133因为22221,即23462812162482

【附5】（全国小学奥林匹克决赛）下面的4个算式中，哪个式子的得数最大? ①1111111120；②30；③40；④50．（难度系数：★★★） 1719242931374147学而思教育 07年春季班讲义 五年级 竞赛班 第九讲 教师版 Page 9 of 14

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分析：

3111939331于是只用比较,,,的大小. 1120=2+, ①17194293137414717191719

3193111① =130=2②， 1719515742924291193②= 4293687931140=2③, 9393③ =313731373137313793931193④ =50=2． ④4147414741474147

可得③最大。

【附6】（第六届华杯赛初赛）编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为

115302439克的重 ,,127333488物．问：金、银、铜牌应分别发给几号蚂蚁? （难度系数：★★★）

分析：

1151211111,12712712710.5123023111111,33333333310.7 31439491111148848848.9493021139所以.333127488

【附7】(八一中学小升初入学试题)有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第16个数的整数部分是_______．（难度系数：★★★）

分析：由已知：

第三个数＝(133＋57)÷2＝95， 第四个数＝(57＋95)÷2＝75， 第五个数＝(76＋95)÷2＝85.5，

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第六个数＝(85.5＋76)÷2＝80.75， 第七个数＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125， 第八个数＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375， 第九个数＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125．

第十个数＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375，

从第十一个数开始，以后任何一个数都82.53125与82.234375之间，所以，这些数的整数部分都是82，那么第16个数的整数部分也82．

【附8】（奥数网习题库）下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？

12345 （难度系数：★★★）

(　　)(　　)(　　)(　　)(　　)分析：由于要求分母的和最小，则从最小的自然数开始考虑，1是不符合最简真分数要求的分母，因此可选择的最小自然数为2，2只能放在第一个分数上做分母。后面要找比1/2小的最简分数：3、4依次被淘汰，5被选中放入第二个分数中。依次规律，可得结果：

1225384115 . 14【附9】（第六届小数报数学竞赛初赛）有两个分数A和B： A=

123456734567 B=，这两个分数相比，_____比______大。（难度系数：★★★）

493850213827624分析：

1493850223446844A1234567123456724691341138276244684 B345673456711,所以AB.AB

【附10】 （华杯赛口试题）图中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米)．红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大?请说明理由． （难度系数：★★★）

2

分析：此题利用到平方差公式： 22

a-b=(a+b)(a-b)

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19972一19962=(1997+1996)×(1997—1996)=1997+1996=3993 19932—19922=1993+1992=3985 所以19972—19962>19932一19922

即19972+19922>19962+19932，两个蓝色正方形的面积大．

【附10】（奥数网习题库）计算 1.22×8.03＋1.23×8.02＋1.24×8.01的整数部分. （难度系数：★★★）

分析：在1.22×8.03，1.23×8.02，1.24×8.01中，各式的两个因数之和都相等。

根据两个数和一定时，这两个数越接近则乘积越大，所以1.22×8.03＜1.23×8.02＜1.24×8.01；

则有1.22×8.00×3<1.22×8.03×3＜原式＜1.24×8.01×3＜1.25×8.00×3 ，即 29.28＜原式＜30 ，所以原式的整数部分是29 .

练习九

123473=B×÷×15=C×15.2÷=D×14.8×. 99345741． （第八届小数报数学竞赛决赛）已知A×15×1A、B、C、D四个数中最大的是_____．

分析：找A、B、C、D中最大的，即找15×1

234173、15、15.2÷、14.8×中最小的。容易求出

59934742315最小，所以B最大． 34

2．用尽可能多的办法解答下列题目：

35915,,, 7131628222221333331（2）（祖冲之杯数学邀请赛）如果A，那么，A和B中较大的数是 ？ ,B=22222333333419951946（3）试比较和的大小 .

19981949（1）把下列各数按照从小到大的顺序排成一列：

53159。

1372816222221666663666662333331B，即A大。（2）A=

22222366666966666833333419951946（3）＞ .

19981949分析：（1）

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3．A表示

分析：

4681000000×××…×的乘积，问A与0.003比哪个大？ 579100000157999999944设B，AB=，6810100000010000011000000 因为A中的每一项小于B中对应项，所以AB，2则A2（0.002），即A0.0020.003. 4．（第六届小数报决赛）A=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998,A的整数部分是_________.

分析：法1：A>8.8×5= 44 ，A<9×5 = 45 ，所以A的整数部分是44 . 法2：将原式变形后再估算：A=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998

=（9－0.2）+（9-0.02）+（9-0.002）+（9-0.0002）+（9-0.00002） =45-0.22222

所以A的整数部分是44 . 5．将算式

0.1234561819表示为小数时，小数点后面的前两位数字是多少？

0.1918174321分析：求两位有效数字，取0.1234÷0.191即可得0..

6．有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9。那么，精确到小数点后两位数是多少？

分析：利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.85≤平均数＜26.95，则这13个自然数的和介于13×26.85和13×26.95之间。即在349.05和350.35之间，所以只能是350。所以350÷13＝26.923，则精确到小数点后两位数是26.92 .

7．求

分析：分段放缩.

1111111＋＋＋＋＋＋的整数部分是多少? 345671143原式6911234，即1原式1，原式的整数部分为1. 363

8．（第五届六年级希望杯培训试题）

1的整数部分是 .

1111120072006200520042003

分析： 对分母进行“放缩”. 先缩：原式>

1401； 52005学而思教育 07年春季班讲义 五年级 竞赛班 第九讲 教师版 Page 13 of 14

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200721==401，

1111155200720072007200720072所以 401＜原式＜401.

5再放：原式＜

故原式的整数部分是401.

课外知识

诸葛亮猜箭数

小朋友都听说过诸葛亮草船借箭的故事吧?诸葛亮、鲁肃等人率20只轻舟去曹营“借箭”归来，几乎未费江东半分之力，便得十万余支箭，这正是诸葛亮通天文、识地理、懂阵图、明兵势、善计谋的结果。可你知道，诸葛亮“借”了曹操多少支箭吗?

在船归岸时，周瑜就命令500军兵清点搬运箭，十万“狼牙”箭数好运走之后，还有很多没有清点。军兵们清点好剩下的箭数，正准备报给诸葛亮听，诸葛亮轻轻挥了一下羽毛扇，让这个士兵不要报出数来，然后对士兵们笑着说：“今天大获全胜，大家都很高兴，我就来猜猜箭数，给大家再助助兴。”然后对前来汇报的士兵说：“你不用说出箭数，我问你们十个问题，你们一一答来，我就知道箭数。”士兵们开始不信，一直等诸葛亮问完，士兵答完，诸葛亮报出数来，他们才个个称奇。

诸葛亮问了哪些问题?又如何算得箭数呢?

原来他预先估出余下的箭比1000支多一些，于是先问：“箭数比1024大还是小?”士兵回答说：“比1024小。”然后取1024的半数512，又问：“箭数比512大还是小?”士兵答：“比512大。”再在512与1024之间取中数768与箭数比大小。重复上面问题，接下去是6、960、1008分别与箭数比大小，结果箭数都比这些数大。诸葛亮再把箭数与1008和1024的中数1016比大小，知道箭数比1016小。这时知道，箭数在1008与1016之间，取中数1012，比箭数小，而1012与1016的中数是1014，再次比较知道箭数比1014小时，就可以断定箭数是1013。

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