4 数列求和-裂项相消法

数列求和2012.12.1

-----------裂项相消法（三部曲：待定，确定，求和） ．．

数列的求和有三种，一是套用等差等比的前n项和公式，二是分组求和，三是裂项相消法。(不讲错位相减法了)

1【回忆求和】：13124135...11(n1)(n1)n(n2)【原理】：anf(n1)f(n) 或 anf(n)f(n1)

【常见的数列的裂项】

1（1）

ann(n1)1n1n1

（2）

a1n(n2)1n21n1n2

1（3）(2n1)(2n1)12(12n112n1)

1（4）n1n(n1n)

nan（5）2nban1b2n12n（a,b是待定系数）

1

2n1anban（6）2n1b2n12n（a,b是待定系数）

（7）n2nan1b2nanb2n1（a,b是待定系数）

n2an2bncan12bn1（8）2n2n1c2n（a,b,c是待定系数）

例1.设

an1n2n1，求和Sna1a2...an。

例2.设an2n10，求和Sna1a2...an。

11,1例3. 求数列12,23,nn1,的前n项和.

1例4.求和22322...n232nnN* n证明：令2nanba(n1)b2n12n，通过比较系数得到a=b=1.

n∴2nn1(n1)12n12n，

123n323...n324n1(n2∴22222222...2n1n1)12n22n。13352n1例5.求和

3233...1n3nnN*

2

3

例6

.求和:Sn13332533...2n13n.

122232n223...n2<6.nN* 例7.求证2222n2an2bnca(n1)bn1cnn122n证明：令2，通过比较系数得到a=1，b=2，c=3.

2n2n22n3(n1)2n13nn1222n所以，所以

2222n22n3(n1)2n13122232n26222322233233...23...n112n1n222222222(n1)22n1362n<6.

例8

.求和:Sn123252...2n1223n。

【作业】

1111...n1221．求证24。

111n1248...2n2。 2.求和24822221113.数列1，12，123，……，12n的前n项和为（ ）

4

2n2nn22n1A．n1 B．2n1 C．n1 D．n

1354.求证：32n13233...3n<1nN* 1235.求和

22223...n2nnN*

5

1111...123234345nn1n1例8.求和。

例10. （2007年广州二模试题文20、理19）（本小题满分14分）

已知曲线C：ye（其中e为自然对数的底数）在点P1,e处的切线与x轴交于点Q1，

x过点Q1作x轴的垂线交曲线C于点P1，曲线C在点P1处的切线与x轴交于点Q2，过点Q2作x轴

P2Pn的垂线交曲线C于点P2，……，依次下去得到一系列点P1、、……、，设点Pn的坐标为xn,yn（nN）．

*（Ⅰ）分别求xn与yn的表达式； （Ⅱ）设O为坐标原点，求i1nn12n16)

OPin2．

(参考公式：

122232n2 6