蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题研究学士毕业论文 精品

毕业论文

基于蒙特卡洛

算法的欧式期权定价问题研究 STUDY ON THE PRICING OF THE EUROPEAN OPTIONS BASED ON MONTE CARLO ALGORITHM

摘 要

近年来，随着全球经济飞速的发展，金融市场在社会经济领域中的地位也在不断的上涨。与金融市场相适应的一些金融衍生品也孕育而出，而对于它们的分析研究也就显得尤为重要，其中期权更是在金融市场中占有一席之地的。众所周知，期权又被称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。其中欧式期权则是最具代表性的期权，不管是在理论价值还是在经济意义上，都是非常值得研究的。

本文以欧式期权为研究对象，基于蒙特卡洛算法并利用Matlab软件编写相关程序。本文针对基于蒙特卡洛算法下的欧式期权定价问题进行研究，在研究上共分为五章。第一章为绪论部分，重点阐述了文章的研究背景、研究意义以及国内外研究现状。第二章是预备知识，主要介绍了文章所用到的基础理论知识，例如蒙特卡洛算法、欧式期权、Black-Scholes模型的概念。第三章建立模型，利用蒙特卡洛算法生成欧式期权定价公式，进而得到基于蒙特卡洛算法下的欧式期权价格。第四章为蒙特卡洛算法改进方法，主要是阐述了改进后的拟蒙特卡洛模拟算法，结合了Halton偏低差序列后，使得期权价格更接近欧式看涨期权价格的真实值。第五章为结论，是对本文的研究结果进行总结。

关键词：蒙特卡洛算法； 欧式期权定价； 方差缩减技术

ABSTRACT

In recent years, with the rapid development of global economy, socio-economic status of the financial market is constantly rising. Financial derivatives that are associated with the financial markets also bred out. So it is particularly important to analyze them especially for options. It is well known that the options are also known as choices, which are derivative financial instruments. It is very worthy of studying European option both in theoretical value and in an economic sense which is the most representative of these options.

This paper is concerned on European option based on Monte Carlo algorithm, and prepares the relevant procedures by using Matlab software. The organizations of our study are as follows. The first chapter focuses on the article's background, significance and research status at home and abroad. The second chapter is on pre knowledge, introduces the articles used by the foundation of theoretical knowledge, such as Monte Carlo algorithm, European options and Black-Scholes model’s concept. The third chapter is on modeling, using Monte Carlo algorithm to generate European option pricing formula, which received European option pricing based on Monte Carlo algorithm. The fourth chapter is on Monte Carlo algorithm, mainly on the improved algorithm of quasi-Monte Carlo simulation, combined with low-discrepancy sequences Halton which can make option prices closer to European-style call option pricing true value. The fifth chapter is on conclusion and it is the summary of the results of this articles.

Keywords: Monte Carlo algorithms； European option pricing；

Variance reduction technology

目 录

1 引言 ......................................................................................................... 1 1.1 研究背景及研究意义 ......................................................................... 1 1.2国内外研究现状 .................................................................................. 1 1.3本文研究内容及研究结构 .................................................................. 2 2 基础知识 ................................................................................................. 4 2.1 蒙特卡洛算法...................................................................................... 4 2.1.1 蒙特卡洛算法简介 .......................................................................... 4 2.1.2 蒙特卡洛算法的基本原理 .............................................................. 5 2.1.3 蒙特卡洛算法的效率 ...................................................................... 7 2.1.4 蒙特卡洛算法的优缺点 .................................................................. 8 2.2 关于期权的一些介绍 ......................................................................... 8 2.2.1 期权的概念....................................................................................... 8 2.2.2 期权的分类....................................................................................... 9 2.2.3 期权价值 ........................................................................................... 9 2.2.4 期权价格的影响因素 .................................................................... 10 2.2.5 期权的交易原理 ............................................................................ 12 2.3 期权的定价模型 ............................................................................... 12 2.3.1 欧式期权定价模型介绍 ................................................................ 12 2.3.2 B-S期权定价模型的建立 .............................................................. 12 2.3.3 风险中性期权定价模型 ................................................................ 14 3 基于蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题实现 .................................. 17

4 蒙特卡洛算法的改进 .......................................................................... 21 4.1 缩减方差技术.................................................................................... 21 4.1.1 控制变量法..................................................................................... 21 4.1.2 对偶变量法..................................................................................... 22 4.2 拟蒙特卡洛算法 ............................................................................... 23 结 论 ....................................................................................................... 28 参考文献 ................................................................................................... 21 致 谢 ....................................................................................................... 22

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1 引言

1.1 研究背景及研究意义

众所周知，在当今21世纪，全球经济都处于一种不断攀升的状态，在我国更是如此，一个国家的兴衰与它的经济状况是紧密相连的，于是在这种大背景下，就衍生出了很多金融衍生品。金融衍生产品，顾名思义，它是金融产业的派生物，是一种金融工具。金融衍生产品事实上可以称之为一种合约，它的价值是依赖于基础资产的，随基础资产价值的变动而变动。它在国际上的分类也是有很多种的，目前主要是依据产品形态、原生资产和交易方法分类的，本文主要研究的是依据产品形态的分类，大致可分为远期、期货、期权以及互换四类，而在这四类中，大多数人更关注期权。

金融产业依照其自身特点，本来就是高风险的，而为了规避这种风险，期权就应运而生了，纵观历史发展，早在《圣经.创世纪》和17世纪荷兰郁金香炒作事件中，期权的概念就已频频出现了，18世纪时，欧洲和美国则相继出现了有组织有纪律的期权交易及股票期权，直到1973年4月26日，标志着期权时代真正开始的世界第一家期权交易所——芝加哥期权交易所诞生了，同年，Fisher Black和Myron Scholes发表论文《期权定价与公司负债》使得期权定价难题迎刃而解，这便是著名的Black-Scholes模型。

然而在Black-Scholes模型中，无风险利率、红利率、股票波动率均为常数，这显然不符合现实，现实中的期权不仅形式多变，而且利率也是随机的，其标的资产的市场价格更是受各方面因素的影响，所以说Black-Scholes模型是具有局限性的，并且毫无疑问大量事实表明通过Black-Scholes模型得到的期权价格与市场实际价格是有一定差异的，在对Black-Scholes模型改进的过程中，有几种最为主要的期权研究方法相应而出，分别为：蒙特卡洛法、倒向随机微分方程法、鞅方法、二叉树法以及有限差分法。本文主要用到的是早在19世纪就已被提出的蒙特卡洛法，蒙特卡洛法即为利用计算机生成大量随机数，进而模拟标的资产的随机运动，得出相应的期权收益，并将此收益依照无风险利率进行贴现，再得到多次贴现后的平均值，最终得出期权估计值的方法。值得一提的是，相较于其他数值方法，蒙特卡洛方法的收敛速度与维度无关且计算速度快，同时又降低了成本。

1.2国内外研究现状

期权定价问题是受到全球金融界瞩目的复杂研究问题之一，主要还是表现在应用数学方面。现如今，在金融史上最具历史性意义的金融期权的定价模型最初是由布莱克(Fisher Black)及斯科尔斯(Myron Scholes) 在1973年发表于美国的著名政治经济学杂志上的一篇文章中提到的，文章名称为期权定价与公司债务。

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他们在研究最初的推导过程之前，做了一系列的基本假设，在这些假设条件下他们推导出了著名的Black-Scholes模型微分方程以及期权定价公式，之后R.Merton则对该模型做出了相当重要的推广和改进。这样就使得Black-Scholes模型能够适用于更加广泛的金融行业衍生产品，并且可以适用于更加宽松同时更加普遍的经济金融环境中。下面，我们举个例子来说明这一点，针对于传统的Black-Scholes模型，股票假设为是不具有红利的，R. Merton 则对此进行了改进，并且他从另一方面重点提出了针对于存在红利的股票使用的特殊期权定价模型。然而，在我国境内，目前关于金融期权定价理论方面的研究仍处于刚刚起步的阶段。早在1997年中，诺贝尔经济学奖授予M.Scholes和R.Merton后，我国就已经开始掀起了关于金融衍生工具的研究热潮，自此开始，我国也不断地有专著，译著和与金融衍生物话题相关的论文问世。程松林，刘三明[1]专家结合Black-Scholes模型，用蒙特卡洛方法模拟了期权定价的相关问题，进而更加深入的讨论了关于金融期权定价的理论研究模型。姜礼尚、茅宁等人也相继著有专著来研究讨论有关期权及其应用的一些相关问题。牟旷凝[4]则是探讨了拟蒙特卡洛方法相较原始蒙特卡洛方法应用于金融期权定价问题的优势。徐博驰和田波平副教授[5]也研究了随机冲击环境对于金融市场上期权定价的影响，并指出了Black-Scholes模型是存在一定的局限性的。近十几年来随着倒向随机方程研究的快速发展，也使得倒向随机微分方程在金融领域的应用受到越来越广泛的关注。中国山东大学的罗晨曦[10]在彭实戈教授的指导下也为此领域做出了重要贡献，彭实戈教授利用倒向随机微分方程得到Feynman-Kac公式，该公式在金融数学领域里有着广泛的应用。

解决欧式期权定价问题主要应用是数值方法，解决欧式期权定价问题的数值法主要有三种,分别是由Cox、Ross和Robinstein于1979年提出的二叉树图法，有限差分方法以及蒙特卡洛模拟算法。蒙特卡洛模拟算法在学术界上来说正式诞生是在1949年，由N.Metropolis和S.Ulam提出。但是事实上，在美国，国家国防部早在1949年之前就已经在非常多的机密的工程中多次使用过这种方法了。同时，针对于解决欧式期权问题的数值方法，国内的研究人员对于这类方法已经提出了很多有效的改进意见，例如李东等人利用小波的方式来计算美式看跌期权的定价，张铁等人使用了有限元方法计算得出了美式期权的定价。同济大学的姜礼尚教授等人对美式期权的二叉树法的收敛性问题也做出了研究，同时，他对于多个资产的美式期权定价问题也都有相应的研究。总结一下也就是说国内的研究方向主要是集中在数值方法上，对近似解析方法的研究则是还比较少。 1.3本文研究内容及研究结构

本文基于蒙特卡洛算法，将欧式期权定价随机化，文章共分为五个章节。 第一章引言。主要介绍了期权的发展趋势，说明采用蒙特卡洛方法的优势及意义，同时讲解了文章的研究背景及研究意义，论述国内外研究现状，最后明确

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了本文的研究内容以及相应结构安排。

第二章主要介绍与本文相关的理论知识基础。例如，蒙特卡洛算法、期权、欧式期权、期权定价的相关概念，同时，介绍了一系列的生成随机数组的方法以及针对于欧式期权适用的Black-Scholes模型，为后面的章节提供充分的理论基础。

第三章主要就是建立欧式期权定价模型。利用蒙特卡洛算法生成欧式期权定价公式，进而得到基于蒙特卡洛算法下的欧式期权价格。蒙特卡洛算法的基本思路是根据资产价格呈对数正态分布的假设，模拟出资产在期权持有期内的价格走势，得出资产在期权到期日的不同价格分布。由此根据期权在资产不同价格下的价值得到期权在到期日的价值分布，再取期权在到期日价值的均值作为期权的价格。

第四章为蒙特卡洛算法改进方法，主要是阐述了改进后的拟蒙特卡洛模拟算法，结合了Halton偏低差序列后，使得期权价格更接近欧式看涨期权价格的真实值。

第五章为本文结论章节。主要是对本文的结论进行总结。

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2 基础知识

2.1 蒙特卡洛算法 2.1.1 蒙特卡洛算法简介

蒙特卡洛算法是金融学中极为重要的一类数值方法。它又可以称之为计算机模拟方法，它的诞生是基于概率数理统计理论的，以中心极限定理和大数定律为主要理论基础，同时蒙特卡洛又是在欧洲摩纳哥的一个世界级，故因此而得名。

中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并应用正态分布的良好性质解决实际问题。设1，2，，n为分布的随机变

K1,2,,n，量序列，若EK，则有DK，

2K1nKnnN0,1，

d1nK1n其等价形式为limPK1xn2nt2exp2dt，x。 x大数定律是概率论中用以说明大量随机现象的平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛算法中用到的是随机变量序列同分布的柯尔莫戈洛夫强大数

，2，n为分布的随机变量序列，K1,2,,n定律。设1，若EK，

1n则有PlimK1，显然，若1，2，，n是由同一总体中得到的抽

nnK11n样，那么由此大数定律可知样本均值K，当n很大时，以概率1收敛于总

nK1体均值。

蒙特卡洛算法诞生于17世纪，当时的人们很聪明的知道利用某种事件的发生频率来决定事件发生概率。举个例子，如果考虑在一个平面上，有一个边长为1的正方形存在，并且在正方形内部存在一个不规则形状的“图形”，而如何精确地计算出这个不规则“图形”的面积就是蒙特卡洛算法要解决的问题了。蒙特卡洛算法就是一种所谓的“随机化”的方法：向该正方形内随机投掷N个点，但

M必须保证投的点全部落在该“图形”内，则该图形的面积近似于。由于蒙特

N4

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卡洛算法的诞生，在19世纪，人们便是用这个方法演变出的投针试验估算出了圆周率。

值得一提的是，蒙特卡洛算法生成的数据事实上是伪随机数。数学软件Matlab计算圆周率代码如下： >> Number=9000000; >> X=rand(Number,1); >> Y=rand(Number,1); >> Num=zeros(length(X),1); >> for i=1:length(X)

if(X(i)-0.5)^2+(Y(i)-0.5)^2<0.25 Num(i)=4; else Num(i)=0; end end

>> mean(Num) ans =

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2.1.2 蒙特卡洛算法的基本原理

蒙特卡洛算法大致可表述为：（1）建立一个与求解问题相关的概率模型，使得所需求得的解的值或者它的函数能够表示为所建模型的数学期望。（2）对该模型进行大量的抽样数据模拟，用抽样生成的随机变量的算术平均值作为所求得的解的近似估计值。因此，可以简单地认为，蒙特卡洛算法是用随机试验的方法计算积分的，即为将所要计算的积分看作服从某种特殊分布密度函数FX的随机变量fx的数学期望。

以下举一个简单的例子来讲述下蒙特卡洛算法的基本原理，例如：

Afxdx （2.1）

01这个式子的含义为计算函数fx在[0，1]区间上的积分值A，通过（2.1）式，我们不难发现该算术式等价于计算数学期望

AEfx （2.2）

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其中，变量X是服从[0，1]区间上的均匀分布，即为X~U0,1。将该式子解释

X2，的更为通俗一些就是说，我们通过某个试验，得到N个观察值，分别为X1，...，

X2，XN，这在概率统计学中表示为从分布密度函数fx中，抽取N个样本X1，...，

XN，然后计算出N个随机变量的值fX1，fX2，...，fXN，再将上述这些

函数值累加起来，并最终计算出他们的算术平均值作为A的蒙特卡洛估计

1Nˆ ANfXi （2.3）

Ni1所以说，由以上描述不难看出，蒙特卡洛算法的关键所在就是随机抽样。假

ˆ将会几乎取代A的值，最终作为A的近似设N取到无限大，根据大数定律，AN值存在。

为了更好的阐述蒙特卡洛算法，我们可以将上述问题表示为以下形式 AEfXfxdFx （2.4） 其中，A是所要求的值，X是一个随机变量，fx是一个依赖于随机变量X的统计量，Fx是X的分布函数。

ˆ和所要求的A精确值的近似度与所选取的样本点的个 得到的统计估计量AN数N有关，对于任意的0，满足

ˆA1 （2.5） limPANNˆ收敛于A。 可以看出，当N时，AN事实上，在使用蒙特卡洛算法模拟时，需要产生各种概率分布的随机变量，其中最基本和最重要的随机变量便是在区间[0,1]上的产生的均匀分布的随机变量。蒙特卡洛生成的随机数简而言之就是服从此种均匀分布的随机变量。其他各类分布的随机变量都是借助于随机数来实现的，由此可见，随机数是抽样计算的基本工具。近年来，科技进步，随着高速电子计算机的问世，使得运用蒙特卡洛算法模拟大量数据进行试验成为可能。在计算工具方面，例如表格工具Excel中的Random指令，数学工具Matlab中的Randn函数等等。从严格意义上来讲，这种随机数的产生并不是随机的，而是根据确定的递推公式获得的，所以被称之为伪随机数，然而虽然它不是真正意义上的随机数，但也并不会影响到估算结果。

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2.1.3 蒙特卡洛算法的效率

我们现在假设所求量是随机变量的数学期望E，那么近似确定的蒙

2，特卡洛算法是对进行n次重复抽样，产生且同分布的随机变量序列1，

，n，并计算出样本均值

1n nK （2.6）

nK1由（2.6）式的结论根据强大数定理理论，我们可以得出plimn1，因此，

n当n大到无穷时，可用n作为所需要求得的估算量的估计值。

得出估计值后，通过中心极限定理，我们就可以得到估计的误差量了。设随机变量的方差D2，对于标准的正态分布的上/2分位数Z/2，有

1 pnZ/2n2t2 pZ/2exdt1 （2.7）2Z/2这表明，置信水平1-所对应的渐进置信区间可以表示为nZ/2n。实际上，

由此不仅确定了置信区间，还可以确定蒙特卡洛算法上的概率化误差边界，其误差为Z/2n，误差收敛速度是On1/2。

由以上数据及公式，我们不难看出，蒙特卡洛算法的误差是由和n同时决定的。在对同一个进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定

，将n增大100倍；要么固定n将减小10倍。若两个随机变量1，2的数

学期望E1E2，12，那么无论从1或2中抽样均可得到的蒙特卡洛估计值。为比较其误差，我们可以假设获得i的一个抽样所需的机时为t1，那么在时间T内生成的抽样数niT/ti，若使

1n12n2，则需使1t12t2。因

而，若要提高蒙特卡洛算法的效率，不能单纯的考虑增加模拟的次数n或是减少方差2，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差2与

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机时t的乘积尽量的小。 2.1.4 蒙特卡洛算法的优缺点

蒙特卡洛算法能够逼真的描述具有随机性质的事物的特点，并且受几何条件的很小。除此之外，其收敛速度与待解决的问题的维数是不相关的。维数若要变化，只会引起抽样所需的时间及计算估计量的时间的变化，并不会影响误差，这个优点决定了蒙特卡洛算法对问题的适应性。这是普通的数值方法几乎都难以攻克的问题。另外，它还具有同一时间计算多个方案和多个未知变化量的能力，且其误差容易确定。利用高级计算机进行计算时，使用该方法的程序结构较为简单，分块性强，更容易令其实现。

当然，无论什么方法都是有利有弊的，蒙特卡洛算法也不会存在例外。在维数相对较低的情况下，其相应收敛速度相对较慢，而且其误差是在一定的置信水平下估计的，所以它的误差是具有一定的概率性的，此外，它的计算结果事实上是依赖于系统的大小的，对于大系统大概率事件或者是小系统小概率事件的问题，经计算研究发现其计算结果往往比真实值还要偏低。 2.2 关于期权的一些介绍 2.2.1 期权的概念

期权，也可以称之为选择权，它其实是一种在期货的基础上产生的一款非常实用的衍生性金融工具。就期权的本质而言，它其实指的是在未来的一定的时期内可以随意自由进行买卖的权利，是买方向期权卖方支付一定数量的金额（权利金）后，拥有的在未来的一段时间内（特指美式期权）或未来的某一特定日期（特指欧式期权），以事先规定好的价格（履约价格）向期权卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权利，但是并不负有期权必须买进或卖出的义务。期权在金融领域中，实质上是将权力和义务分开进行定价的，从而使权利的受益人在规定时间内决定是否进行交易，行使其本就有的权利，而义务方不允许拒绝。在本文表2-1中，详细的阐述了在期权交易过程中，双方权利与义务的关系。

表2-1 期权交易中买卖双方的权利与义务关系表 权利与义务关系 期权费 履行合约 最大损失 最大获利 买方 有权利无义务 支出 主动决定 期权费或期权金 无限

卖方 有义务无权利 收入 被动接受 无限 期权费或期权金 8

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2.2.2 期权的分类

期权由于其交易方式、交易方向以及标的物等方面的不同，导致产生了众多的期权品种，只有对它们进行合理的分类，我们才能对期权有更多更好的了解。本文重点介绍的是欧式期权，它是按照交割时间来进行划分的。目前市面上的期权种类主要有三种，分别是：欧式期权、美式期权、亚式期权三类。

欧式期权指的是在期权合约规定的到期日才可以行使该权利，期权的持有者在合约到期日之前不能行使权利，而如果过了期限，合约则会自动作废。欧式期权的结算日是履行合约后的一天到两天。目前国内的外汇期权交易几乎都是采用的欧式期权合同方式。

美式期权指的是在期权合约规定的有效期内，包括期权到期日在内的任何时间，持有者都可以行使该项权利。美式期权的结算日是在履行合约后的一天到两天。值得一提的是，虽然大多数的美式期权合同允许持有者在交易日至履行合约日之内的任意时间履行合约，但也存在少数美式期权合同明确规定一段比较短的时间履行合约，比如说“到期日前一周”。

亚式期权从本质上看就是创新后的欧式期权，它不同于欧式期权，取合约履行日标的资产的价格，而是期权合约期内某段时间标的资产的价格的平均值，同时这段时间被称为平均期，在对期权标的资产进行平均时，采用的方法就是算术平均法或者几何平均法。

由此可见，欧式期权本少利大，但在获利的时间上不具灵活性；相反的，美式期权虽然灵活，但付费十分昂贵。因此，目前状况是国际上大部分的期权交易都是欧式期权。

除了以上三种常见期权，期权经常性的还会分为看涨期权和看跌期权两种。所谓看涨期权就是指期权的持有者有权在某一确定时间（或在某一确定有效期内）以某一确定价格来购买标的资产。所谓看跌期权就是指期权的持有者有权在某一确定时间（或在某一确定有效期内）以某一确定价格来出售标的资产。 2.2.3 期权价值

不管是哪类期权，都会有自身的内在价值存在。所谓的内在价值，指的就是在期权内部，零和期权立刻执行的时候所具有的价值间的极大值或者极小值，也就是maxSK,0，在这个式子中，S代表的就是标的物的市场价格，K代表

的则为期权执行的价格。而在同时，期权根据其内在价值的大小又分为了实值期权、虚值期权还有两平期权三种。

实值期权，顾名思义，指的就是具有真实价格的期权，也就是说期权的持有人对于期权是立即执行的，由于持有者的立即执行，致使期权价值获利大于零，故将其称为实值期权。

两平期权，也很好理解，与实值期权概念相似，只不过就是期权的持有人在

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对于期权立即执行后，致使期权价值获利为零，此时持有者处于一种不赔不赚的状态，故将其称为两平期权。

虚值期权，与实值期权和两平期权一样，同样是期权的持有者在立即执行，其期权执行结果是致使期权价值获利小于零，此时持有者处于一种赔了的状态，不存在期权价值了，故将其称为虚值期权。

总结一下，本文以卖权举例：首先，由于标的物的市场价格低于其执行价格，卖方买进标的物时的价格就会偏低，因而再卖出时价格就是上升，从而获利，正是这种原因导致了实值卖权的出现。其次，由于买进标的物的市场价等于卖出时的执行价格，卖方从中未盈利，这便是两平期权。最后，由于买进标的物时候的市场价格大于卖出时候的执行价格，若卖方履约，则买方处于一种被动状态，不得不履行约定，致使亏损，这种情况便是虚值期权。值得一提的是，如果真的遇到了虚值期权现象，买方多数会选择放弃履行约定权利，这样做的话损失的部分并不会很多，仅仅于期权费用而已。针对于这三种情况，我们都必须提高警惕，期权市场谁都说不好，也许今天还是实值期权，明天可能就变成了虚值期权了。

为了更方便于大家的参阅，本文将实值期权、两平期权以及虚值期权与买、卖权制成了表格2-2，其中S代表标的物的市场价，K则代表期权最终执行价格。

表2-2 实值期权、两平期权以及虚值期权与买、卖权的关系

S与K的关系 S>K S=K S期权价值，实则还有一种时间价值，但鉴于本文研究的是欧式期权，时间价值则是与美式期权紧密相关的，故在此就不多做介绍了。 2.2.4 期权价格的影响因素

假设S是股票的初始价格，K是履行合约的执行价格，T为期权合约到期的时间，t表示目前的时间，ST表示为在T时刻的时候，股票的市场价格，r表示为从T时刻到期权到期执行日的无风险利率，利息的话就按照连续的复利方式计算，C表示购买的一种股票的欧式看涨期权价值，P表示卖出的一种股票的欧式看跌期权价值，表示股票价格产生变化的波动率。

1、标的资产价格S。对于欧式看涨期权而言，由于其到期执行价格是固定的，所以说如果期权标的资产市场价格上升的话，那么欧式看涨期权的价格也会

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跟随着增加。

2、期权的执行价格K。在到期行使期权的时侯，在绝大多数期权交易中，标的资产的价格会很接近于持有者手中持有的期权的执行价格。执行价格在期权合约里往往都有相当明确的规定，是期权交易所依照特殊的标准以增减的形式给出，这就导致了同一个标的资产确有很多个不同的价格。一般的，在一种期权交易的开始，交易市场都会按照特定的价格间距，给出几组不同的价格，根据标的资产价格的变动情况适时加价，至于对于每种期权到底有多少种价格，这就取决该项期标的资产交易中的波动情况了。不过，对于投资者而言，在选择执行价格时只要遵循一个原则就好了，就是选择最接近标的资产活跃区间价格的期权执行价格。

3、标的资产价格的波动率。标的资产的波动率增加意味着期权的价格也会随之增加，同时波动率的增加也意味着期权持有者也就是买方获利会更多。

4、距期权执行日的剩余时间。单就剩余时间这一条而言，剩余的时间越多，期权执行时的价格就越高。原因就是时间越充裕，标的资产就越会有充裕的时间，有更多的机会向着对期权买家有利的方向变动，最后，随着时间一点点减少，期权执行价格发生变动的概率也就相应减少了。相反的，剩余时间越少，离到期日越近，期权价格变动越快。

5、无风险利率。无风险利率指的就是投放资金于一项不含任何风险的活动，而取得的利息率。这是人人都想得到的一种最理想的投资理念。无风险利率是与期权时间价值成反比的。当其他期权影响因素固定不变时，若无风险利率增长，则标的资产价格的预期增长率有可能会上升，这就致使期权买方在未来的某一时刻收到的现金流现值很有可能会下降，这样只会使得看跌期权价值相对下降，故而，我们得出结论，无风险利率与看跌期权价值成反比，然而，就看涨期权，我们认为无风险利率是与看涨期权成正比的。为了便于读者更好的理解，本文把上述几种期权影响因素制作成表2-3，如下：

表2-3 各类因素对期权价格的影响

影响因素 标的资产的价格 标的资产的价格波动率 到期执行价格 距到期日的剩余时间 无风险利率 看涨期权 上升 上升 上升 上升 上升 看跌期权 下降 下降 下降 下降 下降

从以上分析不难看出，期权最初的标的资产价格和期权到期的执行价格这两

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个因素对于决定期权价格是尤为重要的，它们主要决定了某种期权究竟是何种类型的，实值、两平或者是虚值。并且随着到期时间的缩短，期权价值也会跟随降低。利率的变化对于期权价值相对复杂些，不过简单来说就是利率上升，不但会使得期权持有者成本增加，同时也增长了市场方面对资产的价格上的预测，继而直接导致看涨期权价格上调，看跌期权的价格跌落。 2.2.5 期权的交易原理

首先，买方看准市场，买入已事先约定好标的物价格的看涨期权，然后支付少量的权利金，至此便享有了买入期货的权利。享有该项权利后，一旦价格上调，就要履行上涨期权，购买时是低价购进，卖出时期权价格上涨，就以高价卖出，从中获取差额利润，这样不仅弥补了期初支付的权利金，而且还有盈余。相对的，如果期权价格没有上涨而是下跌了，期权持有者就可以选择放弃期权或者以低价转让看涨期权，这样做的话最大不过是损失了权利金而已。买家之所以会买入看涨期权，主要是因为买家在购买前，分析了有关期货市场上价格的变动，通过分析，买家会认为期货市场上该股上涨空间更大一些，所以，买家选择了持有看涨期权，之后买家支付了一定金额的权利金，一旦市场上的价格如意料中大幅上涨，持有者便低收高卖从中获利。如果买方对市场价格分析不准确，有两种可能，一种是价格也上涨了，不过幅度很小，这样也是可以取得一点利润的，至少弥补了权利金的损失，另一种可能就是，市场上的价格下跌了，卖方选择不履行约定，那么期权持有者的损失就是必然的了，不过持有者的最大损失也就是期初支付的权利金的金额。 2.3 期权的定价模型 2.3.1 欧式期权定价模型介绍

欧式期权在文章2.2.2节中已经介绍过了，欧式期权指的是在期权合约规定的到期日才可以行使该权利，期权的持有者在合约到期日之前不能行使该项权利，期权的价格是期权合约中唯一一个随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。所以，期权定价一直以来都是金融数学应用领域上最为复杂的问题之一。世界上第一个完整的、直至现在都在应用中的期权定价模型就是问世于1973年的，由Fisher Black和Myron Scholes创立下的Black-Scholes期权定价模型，以下简称B-S模型。当然，随着学术上的不断推广，接下来又相继产生了多种期权定价方法，如最小二项式定价方法、风险中性定价方法以及鞅定价方法等等，但在这些方法中，B-S期权定价模型是期权定价问题的核心和基础。 2.3.2 B-S期权定价模型的建立

B-S期权定价模型是金融界期权定价的核心、基础理论，现建立B-S模型，需具备的假设条件如下：

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1、标的证券的价格需要遵循几何布朗运动

dSdtdW （2.6） S其中，S表示标的资产市场价格，t表示时间，S是t的函数，表示的是标的资产的瞬时期望收益率，表示的是标的资产的波动率，dW则表示维纳过程。

2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。

4、无风险利率r为一个固定常数且对所有期权到期日都一样。 5、在衍生证券的存续期内不支付红利。 6、市场上不存在无风险的套利机会。

7、无风险利率r为一个固定常数且对所有期权到期日都一样。 8、股票波动率相对稳定。

下面介绍一下为了得到期权微分形式，不可或缺的且在随机微分中最为重要的伊藤公式。设VVS,t，V是二元可微函数，若在随机过程中，S满足如下的随机微分方程

则有

2VV12V2V dV S,tSS,tSdtS,tSdW （2.8）2tS2SSdSS,tdtS,tdW （2.7） S根据伊藤公式，当标的资产的运动服从假设条件中的几何布朗运动时，期权价值

VVS,t的微分形式为

V1222VVV dVSSdtSdW （2.9） 2t2SSS进而，我们可以构造出无风险组合VVS，即有drdt，整理后得 SV1222VVSrSrV0 （2.10） 2t2SS表达式（2.10）就是表示期权价格变化的B-S模型。它的使用范围偏广泛，包括欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权、美式看跌期权，只不过，由于它们的终值条件以及边界条件不尽相同，导致它们的价值也各不相同。 欧式看涨、看跌期权的终边值条件分别为： 欧式看涨期权终、边值条件为

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VS,Tmax0,STK （2.11）

0 VS,TS通过求解得出欧式看涨期权的解析解为

S0 （2.12） S VS,tSNd1KerTtNd2 （2.13）

1其中Nd2dex22lnS/Kr2/2Tt，d2d1Tt，Tdx，d1Tt为期权的执行日期，K为期权的执行价格。 欧式看跌期权终、边值条件为

x0,KST （2.14） VS,Tma

K VS,T02.3.3 风险中性期权定价模型

S0 （2.15） S如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动

dSrdtdW （2.16） S即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率r。同理，根据伊藤公式可以得到

2 dlnS r2dtdW （2.17）

222 lnSrlnSt r2TtWTWt~Nr2Tt,Tt （2.18）

2SSexprTtWW T tTt （2.19）2对数正态分布的概率密度函数，假设~N,2，e，则的密度函数为

1lnx2exp2 px2x20根据上述公式，得到标的资产ST的密度函数如下

x0x0 （2.20）

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2x2lnrTtSt21exp2Px2Ttx2Tt0x0 （2.21）

x0在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：

VS,tex prTtEQmax0,STK （2.22）

2x2lnrTtS21dxQEmax0,STKexp2K2Tt2Ttx2lnrTtS2KexpK22Ttx2Tt2dx （2.23）

接下来，求解以上风险中性期望，对（2.23）式的右侧第一个广义积分做变量替

换yx2lnrTtS2Tt和uyTt，可以得到

2xlnS1K2Ttexp SerTtK2rS2TtTt2rTt222TtdxTtTt （2.24）

1u2eduSerTtNd122ln1u2eduSerTt22lnS2rK22lnxlnSr2Tt再对等式右侧的第二个无穷积分，令u，可求得

Tt15

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xlnSKKx2TtexpK2r2Tt22Tt22lnSlnKr2Tt2dx1e2u22 （2.25）

lnKlnSr2TtTt1e2u22duKTtduKNd2将以上求出的计算结果带入期望等式中，最终得到欧式看涨期权的价格公式为： VS,tEQerTtma x0,STKSNd1KerTtNd2 （2.26）

S2lnrTtK2其中d1，d2d1Tt。

Tt基于风险中性的期权定价原理，任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现，这样就得到了初始时刻的期权价值。蒙特卡洛算法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。

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3 基于蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题实现

期权定价的蒙特卡洛算法的理论依据是风险中性定价原理，在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即

PEQexprTfS1,S2,,ST，其中EQ表示风险中性期望，r为无风险利率， T为期权的到期执行时刻，fS1,S2,,ST是关于标的资产价格路径的预期收益。

由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛算法便是用于估计期望值的，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛算法。一般的，期权定价蒙特卡洛算法分为以下几步：

（1）在风险中性的测度前提下，模拟期权标的资产价格的路径，将时间区间

0,T分成n个子区间0t0t1t2tnT，标的资产价格过程的离散形式是

Sjti1Sjtie险利率求得期权到期回报的贴现

CjexprTmax0,STjK （3.2） （3）重复前面两个步骤，可以得到大量的期权回报的贴现值的抽样样本。 （4）求得样本平均值，进而得到期权价格的蒙特卡洛模拟值

12rti1titi1tiZi2，Zi~N0,1 （3.1）

（2）尝试计算下，在这条路径下的期权的到期回报率，并且可以试图根据无风

 CMC1mjCmj1exprTmax0,Sj1mjTK （3.3）

m 另外，我们还可以通过以上公式得到蒙特卡洛模拟值与真实值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。由于（3.2）式，m条路径的收益均值为

Cmean21mj1mjC，m条路径的方差为Cvar，由此可得到95%CCmeanmi1m1i1CvarCvar,Cmean1.96的置信区间为Cmean1.96。 mm为了使上面阐述的理论更清楚些，我们举个简单例子说明。假设现在有一种不含红利的A股票，该股票的初始价格为20元，其定价过程符合我们所说的几何布朗运动，且该支股票的年期预计收益率为12%，其收益率的年波动率为25%， 无风险利率8%，该股执行期权为2年，执行价格为20元，我们可将所给已知条

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件数据化，即为S020，0.12，0.25，T2，K20，数学工具Matlab编写代码如下： >> rx=randn(100,50); >> r=0.125; >> T=1; >> deltaT=1/50; >> sigma=0.1;

>> s=[100*ones(100,1) zeros(100,50)]; >> for i=1:50

s(:,i+1)=s(:,i)+s(:,i)*r*deltaT+sigma*deltaT^0.5*(s(:,i).*rx(:,i)); end

>> plot(0:1/50:1,s)

使用蒙特卡洛算法模拟出来的路径如下图所示：

图3-1 A股蒙特卡洛算法路径模拟图

通过数学工具Matlab，得到计算机计算出的欧式期权价格为4.3357元。我们通过路径模拟次数的不断增加，进而来比较一下不同路径次数模拟下的欧式期权价格，如下表3-1所示：

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表3-1 蒙特卡洛算法路径模拟次数与期权价值关系

模拟次数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 期权价值 4.4452 4.3945 4.3716 4.3130 4.2451 4.2320 4.2668 4.3147 4.3079 4.2958 4.3149 4.32 4.3395 4.3378 4.3281 4.3310 模拟次数 17000 18000 19000 20000 21000 22000 23000 24000 25000 26000 27000 28000 29000 30000 期权价值 4.33 4.3404 4.3518 4.3487 4.3452 4.3555 4.3603 4.34 4.3612 4.31 4.3583 4.3476 4.3507 4.3631

通过上表，我们不难看出，运用蒙特卡洛算法，模拟的次数越多，得到的结果就会越精确，期权价格的波动性也就越小，尤其是在20000次的路径模拟之后，期权价格的波动，基本上稳定停留在[4.3442,4.3634]这段区间上了，证明这个时候的期权价格已经很接近期权本身的真实值了，所得结果也相对稳定下来。我们取的是模拟后得到的期权平均价格为4.3347。可见蒙特卡洛算法是一种用于计算期权很有效的方法。但是，大量次数的模拟仍然会给计算机带来强大的负荷，这易使计算机发生死机状态，那么，为了避免这种情况的发生又不影响期权价格的计算的精度，就引入了一个新的概念，叫做边际模拟价值，其计算方法如下式所示：

值期权价值的波动/1率00次0模拟 边际模拟价，当边际模拟价值取到很小

可以忽略不计时，我们就可以认为所求值与近似值几乎一致。在本文第二章中，我们推导出了B-S模型公式，用该公式我们得到的期权价格为：

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S20.252lnrTt0.08K220.4031 d1Tt0.252d2d1Tt0.4031-0.35350.0496

VS,terTtEQmax0,STKSNd1KerTtNd220e20N0.40310.16N0.04964.3357

通过计算可以看出，两者之间只差了0.001，可见蒙特卡洛算法模拟欧式期权定价问题还是很精确的，只要模拟次数不断增加，结果就会不断的精确。

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4 蒙特卡洛算法的改进

4.1 缩减方差技术

我们已经在2.1.4节中讨论过蒙特卡洛算法的优点了，虽然蒙特卡洛算法在计算期权价格时已经很精确了，但是它依然有很多不足的地方，因为该算法对于相对较复杂的证券而言，只能通过大量的模拟，否则就会产生较大误差，这样在处理问题上会有很大的，而且在前几节中，我们也说过蒙特卡洛算法的收敛

-12速度是On，速度相对较慢，所以为了提高精度，就得成倍加大试验次数，这样会显得很繁琐，正因如此，控制方差就成了蒙特卡洛算法中最为重要的步骤。那要如何减少方差呢，我们会介绍以下几种方式。 4.1.1 控制变量法

我们现在假设一随机变量Y的数学期望EY的蒙特卡洛算法模拟出的估计量为Y，令EY的另一随机变量的控制估计法变量为YCV，令YCVYbXx，

b为任意一常数，X为任一随机变量，且xEX，x为任意常数，同上，EYCV的蒙特卡洛算法估计量表示为YCVYbXx，又EYCVEY，可知EY的无偏估计量为YCV，我们有

22 VarYCVVarYbXxY （4.1） 2bXYXYb2X2当b2X2bXYXY时，新产生的控制估计变量YCV的方差是小于原始随机变量

Y的方差的，当b*CovX,YXYY时，产生的控制估计变量YCV的方差最小，

Var(X)X2最小方差为VarY1XY。接下来我们比较下利用控制变量方法进行方差缩减技

术后的效果如下：

VarY1VarY （4.2） 2VarYb*Xx1XYVarYb*Xx这表示，最优系数为b*时，一般方法的模拟次数是n，但是使用改进后的控制变

2量法缩减方差后的模拟次数仅需要n1XY次就可以了，又因为CovX,Y和

21

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VarX在一般情况下都是未知数，所以需要估测随机变量X,Y的样本，即

VarXi1nXiiX （4.3）

n12 CovX,Yi1nXXYY （4.4）

n1值得说明的是，如果控制变量方差技术效果明显的话，我们就需要在解决问题时，找出与所要研究的问题的关联性最大的控制变量，映射到实际期权问题中，也就是让我们使用标的资产或者一些类似于欧式期权的那些有封闭解的简单期权作为控制变量。 4.1.2 对偶变量法

提到缩减方差技术，对偶变量法也是其中之一，它利用的是变量间的负相关性，例如说对于积分Yfydy，利用原始蒙特卡洛算法就可以得到如下关于Y01的两个估计值：

1N1N YafuiYi （4.5）

Ni1Ni11N1N' Ybf1uiYi （4.6）

Ni1Ni11区间上均匀分布产生的随机数，由于这两其中ui[0,1),i1,2,,N，且是在0，个估计值本身是相关联的，所以说得到的两组观测值理论上也应该是相关联的，且每组观测值它们的均值相对，也就是我们所说的平均值Yi是一个对偶变量，它的估计值也已给出为YAV，并且存在 YAVYaYb1nfuif1ui1nYiYi （4.7） 2Ni12Ni12YiYi2AV由VarYAVVarYiVar且依据中心极限定理，我们有： 2

1NYAVEY~N0,1 （4.8） AV/N其中AVYi1niYAV2。

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从中，我们可以看出，对偶变量缩减方差法的比例为：

111VarYiVarYiVarYi122 2 （4.9） 1VarYiVarYiYi/21VarYi12对于使用对偶控制变量法而言，通过（4.9）式我们很容易发现，只有当0时，估计到的方差值才能够得到缩减，若所估计的算术式为单调函数的时候，使用对偶控制变量法的方差的缩减效果会更加明显，但是如果需求解得方程是线性方程的话，那么利用对偶变量法求得的估量值的误差就为零，也就是可以直接求得真实值了。

下面我们来做关于期权的进一步应用分析，首先，对偶变量法要模拟出两组衍生证券的价值和，其一当然是用蒙特卡洛传统方法得到，第二种就是改变了抽样样本的自身的符号从而得到的结果，最终模拟值就是取了两种方式的平均值。

除了上述两种缩减方差技术外，我们还有重要性抽样技术以及条件蒙特卡洛路径模拟两种手段。前者采用了一种新的概率测度，用新的测出的期望值取缔了原本的概率测度下的原期望值。不难看出，前者本质上就是增大了对估计值更有用的随机抽样出现的概率，这样做的目的确保了估计值模拟效率的提高。而后者条件蒙特卡洛模拟方法就是用特殊条件下的随机变量的期望值取缔原一般条件下的随机变量期望进行的模拟计算，这样更有利于增加估计值的精确程度。 4.2 拟蒙特卡洛算法

在本文第二章中就有介绍经典的蒙特卡洛算法在取随机数时，大多是采用Excel软件rand函数和数学工具Matlab中的randn函数实现的，这些函数里面给出的随机数虽然满足于大部分的随机要求，但是这些生成的随机数字仍然会存在一些无法忽略的较大偏差，有可能随机性较强，数字分布的并不均匀，因此为了避免这种现象的产生，我们有必要对蒙特卡洛算法进行改进，我们引入一个新的概念叫做低偏差序列，该序列的作用主要就是可以使得生成的随机数均匀化，随机数的均匀的程度越高，产生的偏差也就会越小，对于经典蒙特卡洛算法改进的效果就越是明显。简单来就，拟蒙特卡洛算法就是采用偏低差序列的方法对衍生证券价格进行模拟，从源头上保障了误差最小化。

为了看得更直观些，我们尝试用Matlab生成随机点在平面上的分布情况，见下图（利用数学软件Matlab生成的1000个点的随机分布图）

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图4-1 生成1000个随机数的分布图

图4-1生成代码如下：

Number_Data=100;

X=randn(Number_Data,1); Y=randn(Number_Data,1); for i=1:Number_Data

plot(X(i),Y(i),'r.','MarkerSize',5),hold on end

从图中可以看出，这样生成的随机数并不均匀，但是一旦结合了偏低差序列，那么生成的随机数的分布就会变得非常均匀了，我们通常用的比较多的偏低差序列有Halton、Sobol、Faure、Niederreiter序列四种，在这四种序列中最根本也是运用最多的就是Halton序列，其基本原理就是n维的Halton序列以n个数为基底，继而将一系列的数字表示为某个数字的基的位数形式，再然后将这些数字组成的数位进行反序排列，再在它们的前面加上小数点后得到的结果。例如，将n维的Halton序列可以表示成h1,h2,,hn，不难看出，其中的每一个随机数都会是一个n24

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维向量，即表示为hihi1,hi2,,hin。它的具体操作步骤如下： 1、首先选择m个基b1,b2,,bm，一般的，都是选择自然界前m个素数。 2、任取一个整数n，使它成为基是bj的数位，表示为nainbij，这样于随

i0Ij1机数序列中的某个元素的第j个向量就为xainb，为了更直观些，下jjni0I面我们来举个例子：我们取m3，表示是3维的随机数序列，取自然界的前三个素数为2、3、5，取数字n17，基于2、3、5为底，则可以表示为17100012，

171223，17325，将其反序分别为，10001、221、23，再在数字前面加上小数点，便得到了Halton序列h0.100010.2210.235，经计算得 2，3，，再取数字n18，仿照上述过程，依次循环就h0.501953,0.925926,0.520000可得到整个序列了。

下面介绍一种名为Moro的算法。我们都知道累计标准正态分布是标准正态分布密度函数的积分。其分布函数可以表示为下式： Yx12ext22 dt （4.10）

由（4.10）式可知，累积标准正态分布的Y轴理论上是服从单位1上的均匀分布的，我们可以通过已知的Y轴上的得到的值直接从X轴上，找到与Y轴相对应的

X值，假设现有一个服从正态分布的函数gx，它的概率密度函数是fx，概率分布函数是Fx，则可经计算得到gx的数学期望公式为：

EgxgxfxdxgxdFx （4.11）

假设UFx,U~U0,1，则有

EgxgxdFxgF1uduhuduEu （4.12）

0011将上述算法带入欧式看涨期权定价公式中，则欧式期权在初始时刻的价格为：

12rTrTx0,S0e2 C(t0)ema01TF1uKdu （4.13）

解得近似解为：

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C(t0)erT1N12rTmax0,S0e2i1NTFj1u K （4.14）

其中N为模拟路径次数，为Halton低偏差序列。

事实上，针对于正态分布，最适合的逆变换应该是Box-Muller算法，但是如果将其应用在本文讨论的低偏差序列中的话就显得不那么科学了，它会打乱序列的均匀性，从而使得低偏差序列效果不明显。所以，在0,1区间的均匀分布上面得到的正态分布，求它的逆变换，通常采用的是由Moro于1995年发表提出的Moro算法。在Moro算法中，作者将定义域简单分成了两个部分，第一部分是中心域U0.42，用的Beasley&Springer算法，第二部分为U0.42，用的是Chebyschev方法求解。Moro算法是非常简单及方便的，下表中就对Moro逆变换和常见的Excel逆变换进行了对比[9]。

表4-1 服从正态分布函数逆变换Moro算法值

自变量u 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000002 理论值 -3.09023 -3.71902 -4.2 -4.75342 -5.19934 -5.49085 Moro逆变换 -3.09023 -3.71902 -4.2 -4.75342 -5.19934 -5.49085

由上表知，可见，Moro逆变化算法的值还是很准确的。

下面，我们主要来看一下拟蒙特卡洛算法操作的具体操作步骤：首先，我们假设有一组低偏差序列数，j就是该序列中的第j个数，然后我们运用刚刚介绍过的Halton低偏差序列生成法，对j生成它的低偏差序列实值j，接下来再运用Moro算法求解F1j，这样就可以用（4.15）式求解模拟的期权值了。

12rzTx0,S0e2 PmaTF1ujK （4.15）

最后只要让jj1，一直循环求出均值就可以了。

我们依旧使用第三章中给出的期权的实例，来更直观的说明改进后的蒙特卡

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洛算法的优势所在，我们使用经典的蒙特卡洛算法通过B-S欧式期权定价模型求得的欧式看涨期权价值为4.3139元。

为了更清楚的看到经典的蒙特卡洛算法和将Moro算法融入了之后的蒙特卡洛算法以及运运用了Halton低偏差序列的蒙特卡洛模拟法对欧式期权进行定价，对比结果如下表所示[5]：

表4-2 三种期权定价方法实验结果

经典蒙特卡洛模拟方法 实验值 4.3334 4.2946 4.24 误差值 0.0195 -0.0175 -0.0595 融合Moro算法的蒙特卡洛算法 实验值 4.34 4.34 4.32 误差值 0.0505 0.0325 0.0115 融合Haiton低偏差序列的蒙特卡洛算法 实验值 4.3274 4.3274 4.3274 误差值 0.0135 0.0135 0.0135

从上表可以轻易看出，融合了Halton低偏差序列以及Moro算法的改进后的蒙特卡洛算法实验得到的效果更加逼近欧式看涨期权自身的内在的价值，而且模拟的结果很稳定，波动性很小，较于经典蒙特卡洛算法更有说服力。

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结 论

本文研究的是基于蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题，就欧式期权本身而

言，本文主要分析的是欧式看涨期权，欧式期权在期权界也是一种最为基本的期权，它是到期日可以执行的期权，不同于美式期权，在持有期至到期日的任何时间点都可以进行交易，也不同于亚式期权要取其均值，欧式期权可以说是交易量最多，买卖最为广泛的一类期权。对于欧式期权日益完善的定价理论，本文运用的是世界上最为著名最为经典的Black-Scholes期权定价模型与蒙特卡洛算法相结合，得出了期权定价模拟办法，继而在数学工具软件Matlab上产开了程序的实现，当然这些程序仍然存在漏洞，还需要进一步完善，接下来将融合了蒙特卡洛思想的欧式期权定价模型与经典B-S模型进行数据对比，我们发现了蒙特卡洛算法的可行性以及它的内在科学性。尽管如此，蒙特卡洛算法在模拟时也是有问题的，模拟次数太多，易致计算机死机，次数太少结果就会不精确，所以我们采用了一系列控制误差的方法，我们将原始蒙特卡洛算法进行改进，新创了拟蒙特卡洛模拟法，通过一系列的实验得出的模拟数据，我们最终得出结论，融合了Halton低偏差序列以及Moro算法的拟蒙特卡洛模拟法是最为接近期权定价的改进方法。

尽管找到了更好的方法，但是对于蒙特卡洛算法，对于欧式期权的研究不会止步不前，本文只是探讨了无风险利率模型，但是事实上金融界是离不开风险的，所以我们未来还应在期权利率方面有更深一步的探讨。

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致 谢

本文是我在大学生活中完成的最后一项任务了，文章写完了代表着我大学四年的生活结束了，四年的时光转眼即逝，回望这美好的四年，只觉得生命的珍贵，让我在人生最美好的四年遇到了这样一群关心着我的老师、陪伴着我的同学们，在这里我要向他们表示我最真挚的感谢。

首先，最要感谢的是我的导师张立东老师，张老师学识渊博，平易近人，治学严谨，工作认真，从一开始就帮我明确了论文思路，研究方法，使我自身省了不少力气，而且不管是什么问题，都能在第一时间帮我解决，不但传授给我知识，还让我学会了许多人生哲理，使我受益匪浅，这将是我一生的财富。除了张老师我还要感谢理学院所有帮助和关心我的老师们。

我还要感谢天津科技大学，是学校给我提供了良好的学习氛围，尤其是图书馆总是能让我找到开启知识大门的钥匙。理学院的各位领导、老师也总会在我迷茫时，为我指引方向，我的顺利毕业是离不开各位的悉心帮助的，在此向他们表示由衷的感谢。

最后要感谢的就是我的家人，我的父母，是他们的理解和关心给了我莫大的支持与动力，使我能安心于学业，因此这篇文章的完成也蕴含了父母无尽的心血。 其实我很明白，一个人的进步与自身的努力是分不开的，但是外界的原因也占很大比例，我的能力得到提高与老师、家人、同学的鼓励、帮助、关心是分不开的，在这里再道一声谢谢！我一定会继续努力的。