2020-2021学年海南省华侨中学高一下学期期末考试数学试题

考试时间：120分钟

注意事项：

1.本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．

2.本试卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效）

1.化简cos()cossin()sin的结果为（ ） A.sin(2a)B.cos(2)C.cosD.cos

2.设复数z＝1＋2i（i是复数单位），则复数z(zi)在复平面内对应点应在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差

4.设,为两个平面，则//的充要条件是（ ）

A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.,平行于同一条直线 D.,垂直于同一平面

5.已知向量a,b满足|a|1,|b|2，且a与b的夹角为120°，则|a3b|（ ） A.11B.37C.210D.43 6.要得到函数y2sinx的图象，只需将函数y2sin2x的图象上所有的点（ ）

4A.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动B.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动

8个单位长度 个单位长度

41（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 241D.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

28C.横坐标缩短到原来的

7.已知四棱锥S－ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16163，则球O的体积等于（ ）

A.

423222162B.C.D.

33338.如图，点P在△ABC内，AB＝CP＝2，BC＝3，∠ABC＋∠APC＝，设∠ABC＝，当等于（ ）时，四边形ABCP面积的最大值为（ ） A.

4,2B.

4,3C.

3,2D.

3,3

二、多项选择题（每题5分，共20分，给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知向量a(1,1),b(2,)，则下列结论中不正确的是（ ） A.若a与b的夹角为锐角，则2B.若a与b共线，则2 C.若2，则a⊥bD.若2，a与b的夹角为钝角

10.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为BC和AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为30°，则异面直线EF与AB所成的角可能为（ ）

A.30° B.60° C.15° D.75°

x1,x2,x3,11.若一组数据：

说法正确的是（ ）

x6的平均值为2，方差为3，则关于数据2x13,2x23,2x332x63A.平均值为－2B.方差为6C.平均值为4D.方差为12

12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点，M为线段AP的中点，则（ ） A.CM与PN是异面直线 B.CM＞ PN

C.平面PAN⊥平面BDD1B1D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

第Ⅱ卷

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；请把答案填在答题卷中指定的位置）

13.已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是．

14.已知向量a(1,3),b(3,1)，则a与b夹角的大小为． 15.满足1|z1i|3的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积为．

16.已知向量e1,e2是平面内的一组基底，0为内的一定点，对于内任意点P，当OPxe1ye2时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为x1,y1,x2,y2，有以下四个命题： ①线段AB中点的广义坐标为②A，B两点间的距离为x1x2y1y2,222 2x1x2y1y2 ③向量OA平行于向量OB的充要条件是：x1y2x2y1 ④向量OA垂直于向量OB的的充要条件是：x1y2x2y10 其中正确命题为（填写序号）．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题10分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，设E是CC 1的中点． （1）求证：AC∥平面BD1E； （2）求三棱锥C1BD1E的体积．

18.（本题12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽査口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，得到如下频率分布直方图． （1）求出直方图中m的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；

（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．

19.（本题12分）某市的公路自行车比赛赛道为如图所示的五边形 ABCDE，为了方便为比赛提供各种服务，又修建了两条服务通道BD和BE，其中∠BCD＝∠BAE＝（1）在条件①∠CDE＝

2，∠CBD＝，CD＝6km， DE＝4km． 3473与②cos∠DBE＝中选择一个条件，求服务通道BE的长度； 125（2）在（1）结论下，如何设计使得折线段赛道BAE（即BA＋BE）最长，最长为多少． 20.（本题12分）已知0（1）求sin2的值； （2）求cos14，cos,sin()．

4352的值． 421.（本题12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为等边三角形，边长为2，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AC＝1，∠DAC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD． （1）证明：AC⊥平面PAD； （2）求二面角C－PD－A的大小；

（3）棱PD上是否存在一点E，使得AE//平面PBC？若存在，求出

PE的值；若不存在，请说明理由． PD22.（本题12分）已知平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b）（其中a，b为常数，且ab≠0），点O为坐标原点．

（1）设点P为线段AB上靠近A的三等分点，OPOA(1)OB(R)，求的值； （2）如图所示，设点P1,P2,P3,,Pn1是线段AB的n等分点，其中nN,n2，

； OPn1OB|的值（用含a，b的式子表示）

⑩当n＝2020时，求|OAOP1OP2②当a＝b＝1，n＝10时，求OPiOPiOPj（说明：可能用到的计算公式：1231i,jn1,i,jN的最小值． n(n1),nN． 2n2023届高一下学期期末考试数学试题答案

一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 D 8 A 9 BD 10 CD 11 AD 12 BCD 二、填空题 13.214.

615.216.①③

三、解答题

17.解：（1）证法（一），连接AC，设ACl与D1B交于O，连接EO，因为D1ABC1为平行四边形，所以O为ACl中点，所以AC∥EO，AC平面BD1E，BO平面BD1E，所以AC∥平面BD1E．

证法（二）取DD1的中点为M，连接CM和AM，可证CM∥D1E，AM∥BE，AM平面B1ED,，BE平面

BD1E

所以AM∥平面B1ED,，同理CM∥平面BD1E AM平面ACM，CM平面ACM，AM

CM＝M

平面ACM∥平面BD1E，而AC平面ACM 所以AC∥平面BD1E （2）因为VC1BD1EVBC1D1E1112SC1D1EBC212． 332318.解：（1）由10(0.0100.0150.015m0.0250.005)1， 得m0.030．

（2）平均数为x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71， 设中位数为n，则0.1＋0.15＋0.15＋（n－70）×0.03＝0.5，得n22073.33． 3故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有：5二等品有：5－3＝2（个）．

所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个 19.解：（1）选条件①∠CDE＝

603（个） 10072，在△BCD中，∠CBD＝，∠BCD＝，CD＝6km， 1243BDCDBD6BD3km， sinBCDsinCBD3222BDECDECDB72， 12342所以BE32425km． 选条件②cos∠DBE＝

32，在△BCD中，∠CBD＝，∠BCD＝，CD＝6km， 3设BE＝x，在△BDE中，DE2BD2BE22BDBEcosDBE

所以169x23x所以BE＝5km．

23，解得x＝5 52，设∠ABE＝，∠BEA＝，（0） 333（2）在△ABE中，∠BAE＝

BEABAE1031032sin，所以ABsin,AEsin sinsin33333所以ABAE103103103sinsinsin． 33333103km， 3103km． 3所以当6时，AB＋AE最大值为

所以△ABE设计成等腰三角形时，折线段赛道BAE最长值为

20.解：（1）方法一：因为coscoscossinsin2cos2sin1， 444223所以cossin272，所以1sin2，所以sin2．

9937sin2cos22cos21方法二：． 492（2）因为0a所以sin2，所以

433,a． 4422140,cos()0cos,sin()，因为， 4435223． ,cos()435cos() 44所以sin所以cos31422823． 53531521.解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，AC⊥AD，平面PAD∴AC⊥平面PAD；

平面ABCD＝AD，AC平面ABCD，

（2）由（1）知，CA⊥平面PAD，过A在PAD内作AO⊥PD于O，连接CO，可证CO⊥PD， 所以∠AOC即为二面角C－PD－A的平面角 在RT△AOC中，AO3,AC1，

13AOC，所以 tanAOC633二面角C－PD－A为

6．

（3）如图，过A作AM∥BC交CD于M，过M作ME∥PC交PD于E，连接AE，因为AM∥BC，AM平面PBC，BC平面PBC，所以AM∥平面PBC，ME∥PC，ME平面PBC，PC平面PBC，所以ME∥平面PBC

AM平面AME，ME平面AME， AM所以平面AME∥平面PBC，

而AE平面AME，则AE∥平面PBC

ME＝M，

PECM，因为AM∥BC，所以∠MAC＝∠ACB＝45°，又因为∠CAD＝90°，所以AM为∠CAD的PDCDCMCA1 平分线，所以

MDAD2PECM1 所以

PDCD3PE1时，AE//平面PBC 所以PD上存在一点E，当

PD3此时

22.解：（1）因为APOPOA(1)OA(1)OB(1)(OAOB)(1)BA 而点P为线段AB上靠近点A的三等分点， 所以AP所以

11AB，所以1， 332． 3

（2）①由题意得OP1OP201920191OAOB， 2020202012019OAOB， 20202020所以OP1OP2019OAOB，

事实上，对任意正整数m，n，且m＋n＝2020， 有OPm2020mmOAOB，

20202020OPn2020nnOAOB，

20202020所以OP mOPnOAOB所以OAOP1OP2OPn1OB202120212|OAOB|ab2． 22另，也可以直接使用提供的公式进行运算． ②当a＝b＝1，n＝10时，

OPi10ii10jj10ii10jjOAOB,，同理OPjOAOB, 101010101010101023(i5)1i215i100i214i95i7当i＝6，7，8，9时，M(j)M(1)，当＝时，上式有最小值 255050当i＝5时，M(j)25751001

5023(i5)9i215i100i26i55当i＝1，2，3，4时，M(j)M(9)，当i＝3时，上式有最小值 255050综上，OPiOPiOPj的最小值是

23． 25