2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每题5分）
1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若3+bi与a﹣i互为共轭复数，则|a+bi|等于（ ） A． B．5 C． D．10
2．用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（ ） A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数
C．a，b，c至多两个负数 D．a，b，c至多一个负数
3．已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≤0，则（ ） A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0 B．p是真命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0 C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．p是假命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0 4．函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=sinx，则下列等式正确的是（ ） A．f（（
）=f′（
）
）
B．f（
）=f′（
）
C．f（
）=f′（
）
D．f
）=f′（
5．2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的2×2列联表： 男 女 总计 参考公式k2=
喜欢足球 35 25 60 不喜欢足球 15 25 40 总计 50 50 100 ，（其中n=a+b+c+d）
临界值表：
P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 参照临界值表，下列结论正确的是（ ） A．有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关” B．有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关” D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关” 6．下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（ ） A．独脚难行，孤掌难鸣 B．前人栽树，后人乘凉
C．物以类聚，人以群分 D．飘风不终朝，骤雨不终日
7．已知过双曲线Г：
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双
曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（ ） A．y=±2x B．y=±x C．y=±
x D．y=±
x
8．定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x•f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（ ）
A．3f（2）＜2f（3） B．3f（2）＞2f（3） C．2f（2）＜3f（3） D．2f（2）＞3f（3） 9．“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10“的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．记半径为1的圆为C1，C1的外切正三角形的外接圆为C2，C2的外切正三角形的外接圆C3，…Cn﹣1的外切正三角形的外接圆为Cn，则C16的面积是（ ）
A．215•π B．216•π C．230•π D．232•π
11．函数f（x）图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx C．f（x）=lnx+sinx D．f（x）=lnx﹣cosx
12．点M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（ ） A．点Q在圆M内 B．点Q在圆M上 C．点Q在圆M外 D．以上结论都有可能
二、填空题（每题5分）
13．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数
= ．
14．已知命题p：a≥2；命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是 ． 15．已知点P是椭圆Г：
=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，
a2，则椭圆的离心率是 ．
若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为16．已知函数f（x）=
（m≠0），则下列结论正确的是
①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）；
②函数f（x）的极值点是x=±；
③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；
④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．
三、解答题
17．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3 （1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值； （2）求函数f（x）的极值．
18．网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格： 网店 A B C D 名称 x 3 4 6 7 y 11 12 20 17 由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系 （1）求y与x的回归直线方程；
（2）在（1）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）
参考公式：：；
；R2═1﹣
参考数据：
xiyi=320；
x2=110．
19．椭圆Г： =1（a＞b＞0）过点（1，），且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点，
椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．
（1）求椭圆Г的方程；
（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直．
20．2016年5月1日上午，厦门日报讯，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y万元与投入x万元之间近似满足函数关系：
f（x）=
若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．
（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；
（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7）
21．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ|
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．
22．函数f（x）=（﹣x2+ax+a）ex（a＞0，e是自然常数） （1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是（2）当x∈（0，1]时，证明：2x3﹣x2﹣x＞
，求a的值；
．
2015-2016学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分）
1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若3+bi与a﹣i互为共轭复数，则|a+bi|等于（ ） A． B．5 C． D．10 【考点】复数求模．
【分析】由已知求得a，b的值，然后代入复数模的计算公式得答案． 【解答】解：∵3+bi与a﹣i互为共轭复数， ∴a=3，b=1， 则|a+bi|=|3+i|=
．
故选：C．
2．用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（ ） A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数
C．a，b，c至多两个负数 D．a，b，c至多一个负数 【考点】反证法与放缩法．
【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．
【解答】解：“a，b，c中至少有一个负数”的否定为“a，b，c都是非负数”， 由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c都是非负数”， 故选：B．
3．已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≤0，则（ ） A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0 B．p是真命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0 C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．p是假命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0 【考点】全称命题．
【分析】根据一元二次函数和不等式的关系判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题， ∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，
∴∀x∈R，x2+x+1＞0，故命题p是假命题，
∵命题是全称命题则命题的否定是￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0， 故选：C．
4．函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=sinx，则下列等式正确的是（ ）
A．f（（
）=f′（
）
） B．f（）=f′（） C．f（）=f′（） D．f
）=f′（
【考点】导数的运算．
【分析】根据基本导数公式求导，再根据各选项可知若f（x）=f′（x），则sinx=cosx，判断即可．
【解答】解：∵f（x）=sinx， ∴f′（x）=cosx， 若f（x）=f′（x）， ∴sinx=cosx， ∴sin∴f（
=cos）=f′（
， ），
故选：D．
5．2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的2×2列联表： 男 女 总计 参考公式k2=
喜欢足球 35 25 60 不喜欢足球 15 25 40 总计 50 50 100 ，（其中n=a+b+c+d）
临界值表： P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 参照临界值表，下列结论正确的是（ ） A．有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关” B．有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关” D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关” 【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据条件求出观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.17＞3.841，即可得到结论．
【解答】解：由题意K2=
由于P（x2≥3.841）≈0.05，
∴有95%把握认为“喜欢足球与性别相关”．
≈4.17，
故选：A．
6．下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（ ） A．独脚难行，孤掌难鸣 B．前人栽树，后人乘凉
C．物以类聚，人以群分 D．飘风不终朝，骤雨不终日 【考点】合情推理的含义与作用．
【分析】利用归纳推理、演绎推理的定义，即可得出结论．
【解答】解：由题意，根据归纳推理是由特殊到一般的推理过程， 可得A，C，D是归纳推理，B是演绎推理， 故选：B．
7．已知过双曲线Г：
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双
曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（ ） A．y=±2x B．y=±x C．y=±
x D．y=±
x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF1=2a，由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，再由勾股定理，可得c2=5a2，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程． 【解答】解：设切点为M，连接OM， 可得OM⊥AF2，
AF1⊥AF2，可得AF1∥OM， 且OM=a，AF1=2a，
由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a， 在直角三角形AF1F2中， AF12+AF22=F1F22， 即为4a2+16a2=4c2， 即有c2=5a2，
由c2=a2+b2，可得b=2a，
可得双曲线的渐近线方程为y=±x， 即为y=±2x． 故选：A．
8．定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x•f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（ ）
A．3f（2）＜2f（3） B．3f（2）＞2f（3） C．2f（2）＜3f（3） D．2f（2）＞3f（3） 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式． 【解答】解：设g（x）=xf（x），
则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0， 即函数g（x）=xf（x）单调递减， 显然g（2）＞g（3）， 则2f（2）＞3f（3）， 故选：D．
9．“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10“的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用导数与极值的关系、简易逻辑的判定方法即可判断出结论． 【解答】解：f（x）=x3+ax2+bx+a2，f′（x）=3x2+2ax+b． ∵f（x）在x=1处有极值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，1+a+b+a2=10， 化为a2﹣a﹣12=0， 解得a=4或a=﹣3．
反之不成立，f（x）在x=1处不一定有极值10．
故“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10”的必要不充分条件． 故选：A．
10．记半径为1的圆为C1，C1的外切正三角形的外接圆为C2，C2的外切正三角形的外接圆C3，…Cn﹣1的外切正三角形的外接圆为Cn，则C16的面积是（ ）
A．215•π B．216•π C．230•π D．232•π 【考点】归纳推理．
【分析】由题意，C1的半径为1，C2的半径为2，…C16的半径为215，即可求出C16的面积．
【解答】解：由题意，C1的半径为1，C2的半径为2，…C16的半径为215， ∴C16的面积是230•π， 故选：C．
11．函数f（x）图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx 【考点】函数的图象．
【分析】由图象可知，f（1）＞f（再比较即可．
【解答】解：由图象可知，f（1）＞f（
C．f（x）=lnx+sinx D．f（x）=lnx﹣cosx
）＞0，分别对A，B，C，D计算f（1），f（），
）＞0，
当x=1时，对于A：f（1）=ln1﹣sin1＜0，不符合，
对于D，f（1）=ln1﹣cos1＜0，不符合， 对于B：∵f（对于C：∵f（
）=ln）=ln
+cos+sin
=ln=ln
，f（1）=ln1+cos1=cos1， +1，f（1）=ln1+sin1=sin1，∴f（
）＞f（1），不
符合
故选：B
12．点M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（ ） A．点Q在圆M内 B．点Q在圆M上 C．点Q在圆M外 D．以上结论都有可能 【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设切点的坐标，可得切线方程，进而可得N，M的坐标，即可得出结论． 【解答】解：设P（a，b），则 ∵x2=2py，∴y=
x2，∴y′=，
∴过P的切线的方程为y﹣b=（x﹣a），即y=x﹣b， 令y=0，可得x=
=，
代入抛物线C：x2=2py，可得y=
=，
∴M（，）
OP的中点为Q（，），∴|MQ|=， ∴点Q在圆M上， 故选：B．
二、填空题（每题5分）
13．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数
=
．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由图得到点Z对应的复数z，代入复数化简，则答案可求．
【解答】解：由图可知：z=﹣1+2i． 则复数故答案为：
=
．
=
，
，然后利用复数代数形式的乘除运算
14．已知命题p：a≥2；命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是 [2，+∞） ． 【考点】复合命题的真假．
【分析】根据不等式恒成立求出命题q的等价条件，结合p且q是真命题，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立， 即a≥x2，恒成立， ∵0≤x2≤1， ∴a≥1，
若p且q是真命题，则p，q同时为真命题， 则
，即a≥2，
故答案为：[2，+∞）
15．已知点P是椭圆Г：
=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，
a2，则椭圆的离心率是
．
若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面积为
a2，可得|PF1|•|PF2|．再根据椭圆的定义可
得|PF1|+|PF2|=2a，利用余弦定理得到a，c的关系，即可求出椭圆的离心率． 【解答】解：由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=
a2，
a2，可得|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=
∴|PF1|•|PF2|=a2．
再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a．
再利用余弦定理可得4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|•cos60°=（|PF1|+|PF2|）2﹣3PF1•PF2=4a2﹣3a2， 求得a=2c，∴e==． 故答案为：．
16．已知函数f（x）=
（m≠0），则下列结论正确的是 ①④
①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）；
②函数f（x）的极值点是x=±；
③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；
④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个． 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】利用函数的解析式对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①∵f（﹣x）=﹣
=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，
∵f（0）=0，∴函数f（x）过点（0，0），故正确；
②m＞0，函数f（x）的极值点是x=±；，故不正确 ③当m＜0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=单调递减函数，故不正确；
④当m＞0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=
，大致图象如图所示
，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）
所以函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．正确． 故答案为：①④．
三、解答题
17．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3 （1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值； （2）求函数f（x）的极值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求导数，f′（x）=3x2﹣6x﹣9，根据函数在图象上某点导数值和过该点切线斜率的关系即可求出x0的值，从而求出切点的坐标，进而求出b的值；
（2）根据二次函数的图象容易判断导数的符号，根据极值的定义便可求出函数f（x）的极大值和极小值． 【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9， 根据题意，
；
∴x0=0，或2；
∴①当x0=0时，f（x0）=﹣3； ∴切线方程为y=﹣9x﹣3； ∴b=﹣3；
②当x0=2时，f（x0）=﹣25； 切线方程为y=﹣9x﹣7； ∴b=﹣7；
（2）f′（x）=3（x﹣3）（x+1）；
∴x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0； ∴f（x）的极大值为f（﹣1）=2，f（x）的极小值为f（3）=﹣30．
18．网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格： 网店 A B C D
名称 x 3 4 6 7 y 11 12 20 17 由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系 （1）求y与x的回归直线方程；
（2）在（1）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）
参考公式：：；
；R2═1﹣
参考数据：
xiyi=320；
x2=110．
【考点】线性回归方程． 【分析】（1）根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（2）相关指数R2的计算公式，求得R2的值，即可求得销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的． 【解答】解：（1）由=
=5， =
=15，
xiyi=320，
=110，
===2，
∴=15﹣2×5=5，
∴线性回归方程为=2x+5；
）2=54，
）2=14，
（2）
（yi﹣（yi﹣
R2═1﹣
=1﹣=0.74，
说明销售件数的差异有74%程度是由关注人数引起的．
19．椭圆Г： =1（a＞b＞0）过点（1，），且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点，
椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．
（1）求椭圆Г的方程；
（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）利用点到直线的距离公式整理可知a=2b，将点（1，
）代入椭圆方程计算
可知a=2、b=1，进而可得结论； （2）通过设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），结合中点坐标公式，将点M、N代入椭圆方程并做差，计算即得结论． 【解答】（1）解：椭圆中心到l的距离为
=
=×2c，即a=2b，
点（1，）代入椭圆方程，得：a=2、b=1，
+y2=1；
∴椭圆Г的方程为：
（2）证明：法一：设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），
则，，
∵•=﹣，即•=﹣，
∴kMN•kOP=﹣≠﹣1，即直线MN与直线OP不垂直．
法二：设直线方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）， 联立
，整理得：（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣∴kOP=
=
，y1+y2=k（x1+x2）+2b=
=﹣
，
，
∵kMN•kOP=﹣≠﹣1，
∴直线MN与直线OP不垂直． 20．2016年5月1日上午，厦门日报讯，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y万元与投入x万元之间近似满足函数关系：
f（x）=
若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．
（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；
（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）由题意可得f（2）=5.2，解得a=﹣4，讨论2≤x≤15时，求得导数和单调区间、极值和最值；由0＜x＜2时，f（x）的单调性可得f（x）的最大值；
（2）讨论0＜x＜2时，f（x）＜0的x的范围，由f（x）在[2，15]的端点的函数值，可得f（x）＞0，即可判断企业亏本的x的范围． 【解答】解：（1）由题意可知，当x=2时，f（2）=5.2， 即有aln2﹣×22+×2=5.2，解得a=﹣4．
则f（x）=．
当2≤x≤15时，f（x）=﹣4lnx﹣x2+x， f′（x）=﹣﹣x+=﹣
，
当2＜x＜8时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当8＜x＜15时，f′（x）＜0，f（x）递减．
当2≤x≤15时，f（x）max=f（8）=﹣4ln8﹣16+36=11.6． 当0＜x＜2时，f（x）＜2×4﹣（2ln2）×2=5.2． 故该小微企业投入8万元时，获得的净利润最大； （2）当0＜x＜2时，2x2﹣（2ln2）x＜0， 解得0＜x＜ln2，该企业亏本；
当2≤x≤15时，f（2）=5.2，f（15）=﹣4ln15﹣×152+×15=0.45＞0，
则f（x）min=f（15）=0.45＞0，
综上可得，0＜x＜ln2，即0＜x＜0.7时，该企业亏本．
21．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ|
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．
【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，以及P，Q的坐标，运用抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得p=4，进而得到抛物线的方程；
（2）设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，|CD|，由四边形的面积公式可得S=|AB||CD|，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣， 由题意可得P（，4），Q（0，4），
由|PF|=2|PQ|，结合抛物线的定义可得|PF|=+， 即有+=2•（p＞0），解得p=4， 则抛物线的方程为y2=8x； （2）由（1）知：F（2，0），
设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），
联立AB方程与抛物线的方程得：y2﹣8my﹣16=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣16， ∴|AB|==
•
•
=8（1+m2）， ）．
）
同理：|CD|=8（1+
∴四边形ACBD的面积：S=|AB||CD|=32（1+m2）（1+=32（2+m2+当且仅当m2=
）≥128．
即：m=±1时等号成立．
∴四边形ACBD的面积的最小值为128．
22．函数f（x）=（﹣x2+ax+a）ex（a＞0，e是自然常数） （1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是（2）当x∈（0，1]时，证明：2x3﹣x2﹣x＞
，求a的值；
．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值即可；
（2）问题转化为（﹣x2+x+）ex＜=
（1﹣
（1﹣
），设g（x）=﹣x2+x+）ex，设h（x）
），根据函数的单调性分别求出其最大值和最小值，从而证出结论．
【解答】解：（1）由题意得：f′（x）=﹣（x+2）（x﹣a）ex，
a＞0时，由f′（x）≥0，解得：﹣2≤x≤a，
∴f（x）在[﹣2，a]递增，在（﹣∞，﹣2]，[a，+∞）递减， a≥1时，f（x）在[0，1]递增， ∴f（x）max=f（1）=（2a﹣1）e=
，解得：a=
+＜1，不合题意，舍，
0≤a＜1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减， ∴f（x）max=f（a）=aea=
，解得：a=，符合题意，
；
综上，存在a=，使得x∈[0，1]时，f（x）的最大值是（2）当x∈（0，1]时，要证：2x3﹣x2﹣x＞即证（﹣x2+x+）ex＜
，
（1﹣），
设g（x）=﹣x2+x+）ex， 由（1）可得g（x）max=g（）=设h（x）=
（1﹣
，
），h′（x）=，
h（x）在（0，1]递减，h（x）min=h（1）=∴（﹣x2+x+）ex＜即2x3﹣x2﹣x＞
（1﹣
），
，
．
2016年9月4日
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